Robert Markweger
   



Lineare und Quadratische Gleichungen

Auch eine Funktion wird im Prinzip ganz einfach nach Links und nach Rechts aufgetragen.
Erst durch die Vereinbarung das Vorzeichen der Linken Seite, also der als Negativ definierten Seite, gleichzeitig als ein Negationszeichen zu verwenden entsteht ein Unterschied.


Lineare Gleichungen

Hier ist zunächst eine ganz einfache lineare Funktionsgleichung.

 y = x + d

Und die Lösung für  y = 0

x + d = 0
x = -d

Man kann es natürlich genau so gut aus der
entgegengesetzten B-Richtung betrachten:

y = x - d

x - d = 0
x = d

Beides führt zum gleichen Ergebnis nur eben aus der jeweils gegenteiligen Richtung betrachtet.

Dass allerdings in A-Richtung betrachtet (-d) Sinn macht setzt bereits voraus dass eine Funktion auch in die Gegenrichtung definiert ist, was nicht zwangsläufig sein muss. Denn genau genommen ist immer eine Funktion in die eine Richtung definiert (A) und eine Funktion in die Gegenrichtung (B), es sind eigentlich zwei Funktionen.

Wenn eine Lösung aus der A-Richtung betrachtet Positiv ist, so ist sie eben aus der B-Richtung betrachtet Negativ und umgekehrt wenn eine Lösung aus der A-Richtung betrachtet Negativ ist, so ist sie eben aus B-Richtung betrachtet Positiv.

Man kann es auch genau so gut als eine Funktion in A-Richtung und eine Funktion in B Richtung über X aufgetragen betrachten:

Die A-Richtung ist wieder:

 y = x + d
x + d = 0
x = -d

Und die B-Richtung ist dann:

 y = -x + d
-x + d = 0
x - d = 0
x = d

Es sind letztendlich immer zwei Funktionen eine in die eine Richtung und eine in die Gegenrichtung aufgetragen, nichts sonst.
Natürlich ist nichts falsch daran wenn man diese beiden Funktionen zusammenfügt und in der üblichen Form als eine Funktion betrachtet, sofern man sich dessen bewusst ist dass eigentlich zwei Funktionen sind aber eben in entgegengesetzter Richtung aufgetragen.
Es ist eben eine Methode, nicht mehr und nicht weniger. Eine Definition Negativer Zahlen ist dafür nicht notwendig.



Als nächstes eine leicht veränderte lineare Funktion.

y = k . x + d

k . x + d = 0
k . x = -d
x = - d / k

Auch wieder aus der B-Richtung betrachtet:

y = k . x - d

k . x - d = 0
k . x = d
x = d / k


Ähnliche Funktion, ähnliches Ergebnis.
Die Funktion aus Sicht beider Richtungen aufgelöst führt zum selben Ergebnis.

Setzt man Zahlen ein und einer der Werte ist Negativ so ändert sich eben das Vorzeichen wenn man die Zahl einsetzt. Das Negative Vorzeichen wirkt faktisch als Negationszeichen.
Das ist eine Vereinbarung, auch dazu braucht es keine Definition Negativer Zahlen.



 Einfache kubische Gleichung

Nun eine einfache kubische Gleichung:


y = x³ + d

x³ + d = 0
x³ = -d
x = ³V(-d)

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = x³ - d

x³ - d = 0
x³ = d
x = ³V(d)


Es ist immer das gleiche Prinzip. Der Wert d wirkt aus der A-Richtung betrachtet zwangsläufig entgegengerichtet und es ergibt sich die entsprechende Funktion daraus, ob es nun die Division durch k ist oder die  3. Wurzel aus diesem entgegengesetzten Wert.


Einfache Quadratische Gleichung

Nun, natürlich spricht nichts dagegen eine quadratische Gleichung in der üblichen Form zu definieren, nämlich dass man beim Quadrat von (x) eine zweites Minus-Zeichen als ein Negationszeichen betrachtet und auf diese Weise (x²) in beide Richtungen über der X-Achse aufgetragen wird. Diese Vorgangsweise ist aber eine Methode, es gibt aber keinen Grund diese Methode exklusiv anzuwenden.

Es gibt keinen Grund warum man eine Quadratische Funktion nicht auch in der Weise definieren kann dass das Quadrat der Negativen Seite eben auch in die Negative Richtung wirkt.
Das ist die gleiche Vorgangsweise wie sie bei gerichteten Größen ohnehin oft genug angewandt wird indem man die Regeln für Negative Zahlen für ungültig erklärt bzw. diese Regeln ganz einfach ignoriert.
Man muss es nur eindeutig kennzeichnen dass man diese Regel für Negative Zahlen nicht anwenden will.

Eine solche Quadratische Funktion sieht dann folgendermaßen aus:



y = x² + d

x² + d = 0
x² = -d
x = ²V(-d)

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = x² - d

x² - d = 0
x² = d
x = ²V(d)


Aus der A-Richtung betrachtet ergibt sich eben wieder (-d) und daraus die Quadratwurzel. Es heißt ganz einfach dass (d) in B-Richtung wirkt und daraus dann eben die Wurzel. Daran ist nichts falsch und es gibt auch keinen Grund warum man diese Wurzel nicht ziehen sollte.
Man kann die Regeln für Negative Zahlen verwenden, aber man muss es nicht zwangsläufig tun.

Nachdem mit den Negativen Zahlen generell definiert wird dass das Quadrat eines Negativen Wertes Positiv ist, ist es notwendig diese Wurzel aus einer Negativen Zahl in irgend einer Weise zu kennzeichnen. Etwa indem man vereinbart diese Zahl in eine Klammer zu schreiben und dass das Quadrat dieser Zahl auch wieder negativ ist.


Für  d = 4  ergibt sich für x:

x = ²V(-d)   =   ²V(-4)   =   (-2)

und in den Ansatz für y = 0 eingesetzt:

x² + d = 0

(-2)² + 4 = 0

-4 + 4 = 0

Auf diese Weise schließt sich der Kreis und es ist auch nichts verkehrt an einer solchen Vorgangsweise.

Man kann es natürlich auch in einer etwas anderen Schreibweise schreiben und das Ergebnis mit einer Kennzahl wie "i" kennzeichnen:
Wenn man dann die Multiplikation so definiert dass das Quadrat dieser Vorzeichen-Merkzahl wieder eine negative Zahl ergibt

(r1, i1).(r2, i2) = (r1.r2 - i1.i2, r1.i2 + i1.r2), also

(0, 2i) . (0, 2i) = (-4, 0i) = -4

so erhält man wieder für

x² = -4

Für d = 4 ergibt sich für x:

x = ²V(-d)   =   ²V(-4)    =  2i

und in den Ansatz für y = 0 eingesetzt:
x² + d = 0

(0, 2i) . (0, 2i) + 4 = 0

(-4, 0i) + 4 = 0

-4 + 4 = 0

Das heißt, man nimmt das Ergebnis aus der Wurzel nicht unmittelbar zur Kenntnis, die Information bleibt aber erhalten und man kann das Ergebnis in gleicher Weise in die Ausgangsgleichung einsetzen. Das ist in diesem Fall zwar nicht notwendig, aber es ist prinzipiell auch nicht falsch. An diesem einfachen Beispiel sieht man die Funktion dieser Merkregel, also den so bezeichneten Komplexen Zahlen, sogar besonders gut.
Daran ist aber nichts Komplex und auch nichts Imaginär, es it ganz einfach eine Vorzeichen-Merkregel, wo man sich das Negative Vorzeichen mit einem Buchstaben merkt, und die Multiplikation so defniert ist dass bei der Multiplikation das Negative Vorzeichen wieder erscheint.
Dass diese Vorzeichen-Merkregel aus einem anderen Grund definiert wurde, als eine vermeintliche Lösung einer kubischen Gleichung, ändert daran auch nichts.

Ob negative Ergebnisse überhaupt Sinn machen hängt natürlich davon ab in welcher Form die Funktion der Gegenrichtung definiert ist. Dagegen sind positive Werte beider Seiten immer richtig.

Am sinnvollsten ist es daher auf beiden Seiten nur positive Lösungen zu verwenden und negative Ergebnisse überhaupt zu ignorieren.
Man kann dann das Ergebnis beider Seiten immer noch zu einer Lösungsformel zusammen fügen, wie das bei der Quadratischen Gleichung in der bekannten Form der Fall ist.

 
Einfache Quadratische Gleichung ohne Lösung
 
Hier, nun eine einfache quadratische Funktion in der üblichen Form:

y = x² + d

x² + d = 0
x² = -d
x = ²V-d

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = -x² - d

-x² - d = 0
-x² = d
x² = -d
x = ²V-d

Zunächst einmal kann bei der bestehenden Definition mit "Negativen Zahlen" x² nur positiv sein. Unter der Voraussetzung dass auch d positiv ist, ist schon der Ansatz

x² + d = 0

sinnfrei. Denn die Summe zweier positiver Zahlen kann nicht null sein. In diesen Fall ist der Ansatz genau so sinnfrei wie der Ansatz

4 + 2 = 0

Die Formel für die Lösung quadratischer Gleichungen beinhaltet also, unter bestimmten Voraussetzungen, einen Ansatz der ein völlig sinnfrei ist. Sollte

x = 0

sein dann ändert das daran auch nichts denn auch

0 + 2 = 0

ist sinnfrei. Das allein zeigt dass die Formel für das Lösen quadratischer Gleichungen nicht generell anwendbar ist und in diesem Fall keinen Sinn ergibt.

Löst man

x² + d = 0

trotzdem nach x auf so erhält man wieder

x = ²V(-d)

In diesem Fall hat ist der Negative Wert unter der Wurzel tatsächlich keinen Sinn. Daran ist nichts komplex oder imaginär, diese Gleichung hat unter diesen Voraussetzungen ganz einfach keine Lösung.



 Einfache Quadratische Gleichung mit Lösung

Eine quadratische Funktion mit Lösung:

y = x² - d

x² - d = 0
x² = d
x = ²V(d)

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = -x² + d

-x² + d = 0
-x² = -d
x² = d
x = ²V(d)


In diesem Fall ergibt sich einfach für beide Seiten A und B eine Lösung.
Hier entspricht das Ergebnis dem Plus/Minus Vorzeichen der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Gegen die Zusammenfassung zu einer Lösungsformel für diese Form der Funktion spricht ja auch nichts, nur dass sie eben nicht unter allen Umständen anwendbar sein muss. 

An dieser einfachen quadratischen Gleichung sieht man es sogar besonders gut.
An sich wird eine quadratische Funktion einmal nach links und einmal nach rechts über der X-Achse aufgetragen, was eigentlich zwei Funktionen sind. Man könnte das in beide Richtungen mit

y = x² - d

anschreiben, einmal nach links, einmal nach rechts bzw. einmal in A-Richtung und einmal in B-Richtung.
Auch auf diese Art erhält man für beide Seiten zwangsläufig die gleiche Lösung.

Man kann nun auch die Vereinbarung treffen dass das Vorzeichen der B-Richtung (Minus Zeichen) gleichzeitig als ein Negationszeichen verwendet wird, wie es mit der Definition Negativer Zahlen geschieht.
Man kann dann weiter die beiden Funktionen so quasi zu einer Funktion zusammenfassen und die Lösung beider Seiten mit dem Plus/Minus Zeichen ( + ) angeben. Solange man das als eine solche Vorgangsweise definiert ist daran noch nichts verkehrt.

 Nur wenn man vermeint darin eine "Existenz" Negativer Zahlen zu erkennen so ist das durch nichts begründet.


Quadratische Gleichungen

Eine weitere Form der quadratischen Gleichung ist:

y = x² - px + q

Hier können sich auf einer Seite zwei Lösungen ergeben. Auch dies lässt sich erklären ohne dass man dazu so etwas wie eine Vorstellung Negativer Zahlen braucht. Zur Veranschaulichung sind rechts die drei Kurven dargestellt aus denen sich diese Funktion zusammen setzt.


Die beiden Lösungen dieser Gleichung ergeben sich folgendermaßen.

y = x² - px + q

x² - px + q = 0
 x² - px = -q
mit der Formel für das Binom

(a - b)² = a² - 2ab + b²

und

a² = x²
b = p/2    bzw.   b² = (p/2)²

ergibt sich:

x² - 2(p/2)x + (p/2)² = (p/2)² - q
 (x - p/2)² = (p/2)² - q
x - p/2 = ²V[(p/2)² - q]
x = p/2 + ²V[(p/2)² - q]

Beim Quadrat des Binoms
a² - 2ab + b²
kann sowohl (a) als auch (b) der größere Wert sein .
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(b - a)² = a² - 2ab + b²

Das heißt in der Anwendung zur Lösung der Quadratischen Gleichung kann sowohl

a² = x²         als auch
b² = (p/2)²    

der größere Wert sein. Der zweite Fall führt dementsprechend auch zu einem unterschiedlichen Ergebnis.
x² - 2(p/2)x + (p/2)² = (p/2)²- q
 (p/2 - x)² = (p/2)²- q
p/2 - x = ²V[(p/2)²- q]
-x = -p/2 + ²V[(p/2)²- q]
x = p/2 - ²V[(p/2)²- q]

Das heißt wenn man es elementar betrachtet kommt man auch zu zwei Lösungen, man braucht dazu keine Regeln für Negative Zahlen, es ergibt sich ganz einfach aus der Regel für die Multiplikation von Differenzen.

Das (p/2) ist hier deshalb positiv weil ja das Negative Vorzeichen bereits in der Ausgangsgleichung berücksichtigt wurde.

Das (p/2)² unter der Wurzel ist deshalb immer Positiv weil es ja dem (b²) des Binoms entspricht und das ist eben immer Positiv. Auch dazu braucht es keine Vorstellung von Negativen Zahlen.

Wenn der Wert unter Wurzel Negativ ist hat die Gleichung keine Lösung.
In diesem Fall ist aber bereits die Gleichung

x² - px + q = 0

 nicht richtig denn dann kann die rechte Seite überhaupt nicht null sein.
Und dann ist auch

 x² - px  = -q    bzw,

x² - 2(p/2)x + (p/2)² = (p/2)²- q

ganz einfach nicht richtig, die beiden Seiten der Gleichung sind dann eben nicht gleich.
Dass der rechte negative Wert später unter der Wurzel steht ist nicht die Ursache dafür dass die Lösung keinen Sinn ergibt. Unter dieser Voraussetzung ist vielmehr der Ansatz von Anfang an sinnfrei.


Wenn (px) Positiv ist also

 x² + px + q = 0

so erhält man auf der Negativen Seite zwei Lösungen.
Nun, diesen Fall kann man es einfach als

x² - px + q = 0

über der X-Achse nach Links aufgetragen betrachten.
Wenn man das Ergebnis

 x = p/2 + ²V[(p/2)² + q]

von der rechten Seite aus betrachtet erhält man

 x = -p/2 + ²V[(p/2)² - q]

Auch dafür braucht es keine Negativen Zahlen, man muß nur das Ergebnis, das sich auf der linken Seite ergibt, von der rechten Seite aus betrachten.


Wenn (q) Negativ ist

 x² - px - q = 0

so erhält man auf der Positiven Seite

x = p/2 + ²V[(p/2)² + q]

Von der Negativen Seite aus betrachtet entspricht dies
x² + px - q = 0

und man erhält

x = -p/2 + ²V[(p/2)² + q]

Von der Positiven Seite aus betrachtet entspricht dies

x = p/2 - ²V[(p/2)² + q]

was einer der beiden Lösung entspricht die man auf der Positiven Seite erhält.

Auch dafür braucht es keine Vorstellungen von Negativen Zahlen.

Natürlich spricht nichts dagegen alle diese Lösungen zu einer Lösungsformel für quadratische Gleichungen zusammenzufassen

x = -p/2 + ²V[(p/2)²- q]

es ist aber ein Unterschied ob man darin eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen sieht oder ob man meint hierin so etwas wie eine Existenz Negativer Zahlen sehen zu müssen.

Wenn man darin eine Lösungsformel sieht ist daran durchaus nichts falsch. Wenn man dagegen darin das Verhalten Negativer Zahlen sehen will, so ergibt sich schon in der Herleitung dieser Lösungsformel ein Widerspruch.

(x + p/2)² = (p/2)²- q
x + p/2 = + ²V[(p/2)² - q]
Warum erscheint das Plus/Minus in der zweiten Zeile nur auf der rechten Seite und nicht auf der linken Seite auch?
Denn wenn es nach der Definition Negativer Zahlen geht so müsste das + doch auf beiden Seiten der Gleichung erscheinen, denn es wird ja auf beiden Seiten die Wurzel gezogen. Dass auf der linken Seite das Wurzelziehen einfach durch das Weglassen des Quadrats erfolgt ändert daran gar nichts. Man stelle sich nur vor dass auf beiden Seiten der Ausdruck in der ersten Zeile der Zahl 100 entspricht und man diese Zahlen auch einsetzt, dann hat man in beiden Zeilen folgendes stehen:

100 = 100
10 = + 10

Es ist eben nur die Zusammenfassung der Lösungen einer quadratischen Gleichung zu einer Lösungsformel. Nicht mehr und nicht weniger. Denn wenn es wirklich das Verhalten einer Zahlenart wäre, so müßten diese Regeln für Negative Zahlen immer gelten. Denn die Regeln für eine Zahlenart gelten eben, oder sie gelten eben nicht.
Wenn man es einfach als eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen ansieht dann besteht kein Widerspruch.


Schlussfolgerung

Die Lösungen für quadratische Gleichungen lassen sich zu einer Lösungsformel zusammenfassen was später zu einer Vorstellung von einer Existenz Negativer Zahlen geführt hat. Wenn man es aber elementar betrachtet, nämlich dass eigentlich zwei Funktionen in die beiden Richtungen aufgetragen werden, so kann man die Lösungen auch elementar erklären, es braucht dazu keine Vorstellung von einer Existenz Negativer Zahlen. Die Definition Negativer Zahlen in der bestehenden Form ist unbegründet.

 Unter dieser Voraussetzung werden im folgenden die Kubischen Gleichungen betrachtet.
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Robert Markweger
 
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12. 5. 2025

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