Robert Markweger
   



Komplexe Zahlen
Die Überlegungen, die historisch zu einer Vorstellung von Komplexen Zahlen geführt haben, sind im folgenden Aufsatz ausführlich beschrieben:
Komplexe Zahlen - Cardano Formel (insbesondere Seite 41)

Nun, die Cardanische Formel kann unter bestimmten Voraussetzungen überhaupt zu keiner sinnvollen Lösung führen.
Dies trifft auch auf die oft zitierte kubische Gleichung (Fall 2)

z³ - 15z - 4 = 0

zu. Diese Vorgangsweise funktioniert außerdem nur für eine einzige Kombination von Variablen. Bei der Lösung dieser Kubischen Gleichung auf Basis der Cardanischen Formel kann es sich daher von vorn herein nur um einen Zufallstreffer handeln.


Für die Gleichung

z³ - 15z - 4 = 0

ergibt sich nach der Cardanischen Formel (h = 15, n = 4)

z = ³V[n/2 + ²V(n²/4 - h³/27)] + ³V[n/2 - ²V(n²/4 - h³/27)]

die Lösung:

z = ³V[2 + ²V( - 121)] + ³V[2 - ²V( - 121)]

bzw.

z = ³V[2 +11 . ²V( - 1)] + ³V[2 - 11 . ²V( - 1)]

Nun, ob eine Quadrat-Wurzel aus einer Negativen Zahl Sinn macht oder auch nicht, hängt davon ab wie diese Zahl zustande gekommen ist. Wenn diese unter Anwendung der Regeln für Negative Zahlen entstanden ist so macht es keinen Sinn, wenn es sich aber ganz einfach um eine Zahl handelt die in die Gegenrichtung wirkt, so wie das bei gerichteten Größen oft genug vorkommt, so muss es nicht falsch sein die Wurzel aus einer Negativen Zahl zu ziehen.

Im gegenständlichen Fall wurde die folgende Überlegung verwendet:

Wenn man nach den Regeln für das Binom

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

den Ausdruck

[2 + ²V( -1)]³

berechnet so erhält man:

8 + 12 . ²V(-1) + 6 [²V(-1)]² + [²V(-1)]³   =

 8 + 12 . ²V(-1) - 6 + (-1) . ²V(-1)    =

2 + 11 . ²V(-1)


was umgekehrt bedeutet

³V[2 +11 . ²V( - 1)]    =   2 + ²V(-1)

Für (z) ergibt sich damit:

z = 2 + ²V(-1) + 2 - ²V(-1) = 4

Nun, an dieser Vorgangsweise muss nicht unbedingt grundsätzlich etwas falsch sein, es ist die Frage wie das (-1) unter der Wurzel zustande gekommen ist.

Aber wie gesagt, nachdem für die Gleichung

x³ - 15x - 4 = 0

schon im Ansatz zur Cardanischen Formel auf beiden Seiten einer Gleichung Zahlenwerte stehen die nicht miteinander vereinbar sind, ist diese Vorgangsweise hier sinnlos. Dass diese Vorgangsweise nur für einen einzigen Fall

h  =  15, n = 4

funktioniert, zeigt ja auch dass es sich hier nur um einen Zufallstreffer handeln kann. Eine falsche Funktion kann ohne weiteres für bestimmte Parameter richtige Ergebnisse liefern, nämlich dort wo sich eine falsche Funktion mit einer richtigen Funktion überschneidet.

Dass heißt nicht dass diese Regeln die man mit den sogenannten Komplexen Zahlen definiert hat, nicht anwenden kann.
Denn im Prinzip sind die Komplexen Zahlen das gleiche wie wir mit gerichteten Größen rechnen wo wir uns ja auch das Vorzeichen merken, nur dass es hier eben mit einer Zahlenart definiert ist.
Eine Zahlenart dafür zu definieren wäre dazu allerdings überhaupt nicht notwendig. Es würde völlig reichen wenn man definieren würde dass für bestimmte Zahlen dass Vorzeichen erhalten bleibt, ob man nun die Wurzel daraus zieht oder ob man das Quadrat einer Zahl verwendet.
Daran ist nichts komplex und schon gar nichts imaginär und eine Komplexe Zahlenebene braucht man dafür auch nicht.
Komplexe Zahlen sind ganz einfach die Vereinbarung zwei Zahlen mit bestimmten Rechenregel miteinander zu verbinden, wobei bei einer der beiden Zahlen das Vorzeichen erhalten bleibt.

Diese Definition könnte man für Werte der x - Achse genau so anwenden wie für die y - Achse und je nach Anwendung für eine der beiden Achsen oder auch für beiden Achsen. Es gibt auch keinen Grund warum man diese Anwendung nur für die Kreisfunktion verwenden sollte, man kann es für jede andere Funktion auch verwenden.


Komplex Konjugiert

 Noch etwas eigenartiger ist der Begriff  Komplex Konjugiert.
Mit diesem Begriff wird lediglich definiert dass sich über den Nulldurchgängen der Kubischen Gleichung ein gleichseitiges Dreieck darstellen lässt, wie es im folgenden Video gezeigt wird:
Cubic Equation

Wenn man durch den Schwerpunkt des Dreiecks die X-Achse legt hat man genau das was mit dem Begriff Komplex Konjugiert definiert wird.
Das ist alles was zur Lösung der Kubischen Gleichung im Fall dreier Lösungen verwendet wird.

Für den Ansatz

z³ + hz + n = 0

mit

z = r . cos a

wird

r³ . cos³ a + h . r . cos a + n = 0

Daran ist nichts komplex oder imaginär und eine komplexe Zahlenebene braucht es dafür auch nicht. Die Information dass sich über den drei  Lösungen der Kubischen Gleichungen ein gleichseitiges Dreieck auftragen läßt, ist die einzige Information die man für diesen Ansatz braucht.


Schlußfolgerung

Mit den Komplexen Zahlen werden zwei grundsätzlich verschiedene Rechenregeln definiert die eigentlich nichts miteinander gemeinsam haben.

Im einen Fall geht es einfach darum dass das Vorzeichen einer Zahl beim Wurzelziehen erhalten bleibt, im Prinzip ist das das gleiche wie wenn man mit gerichteten Größen rechnet, nur dass es hier mit einer Zahlenart definiert wird. Diese Definition ist daraus entstanden dass man damit, in freilich nur einem einzigen Fall mit ganz bestimmten Zahlen, vermeint eine Lösung für eine kubische Gleichung gefunden zu haben. Tatsächlich kann es sich in diesen Fall nur um einen Zufallstreffer handeln.
Das heißt nicht dass man diesen Regeln nicht anwenden kann.

Im anderen Fall wird ganz einfach ein geometrischer Zusammenhang mit diesen sogenannten Komplexen Zahlen definiert. Auch dafür braucht man keine komplexen Zahlen, das Wissen um diesen geometrischen Zusammenhang reicht völlig für den Ansatz zur Lösung einer kubischen Gleichung.

In beiden Fällen braucht man dafür keine Komplexen Zahlen und imaginär ist daran schon gar nichts und eine Komplexe Zahlenebene braucht man dafür auch nicht, es reicht völlig diese Vorgangsweisen als Rechenregeln zu definieren, denn um etwas anderes handelt es sich dabei nicht.





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Robert Markweger
 
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12. 5. 2025

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