Robert Markweger
Kubische Gleichungen
Nachdem, wie hier
beschrieben, es keinen Sinn macht Negative Zahlen zu definieren, es ist
schließlich nur eine Zusammenfassung von Regeln und Methoden, und
es auch keinen Sinn macht beide Richtungen einer Funktion (Positiv und
Negativ) mit einer Gleichung zu behandeln, es sind schließlich immer zwei
Funktionen in entgegengesetzter Richtung, wird hier die kubische
Funktion unter diesem Aspekt betrachtet.
Als Quelle für die Ableitung der Kubischen Gleichung werden die folgenden beiden Seiten verwendet:
Gleichung 3 Grades und Cardanische Formel
Kubische Gleichung
Wenn man eine kubische Gleichung in der Form
y = x³ + ex² + fx + g
betrachtet und y = 0 setzt:
(Schreibweise e, f, g um Verwechslung zu vermeiden)
x³ + ex² + fx + g = 0
und dies mit der 3. Potenz von (a + b) vergleicht
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
so sieht man gleich dass die Lösung hier nicht so einfach ist
nachdem das (b) in (3a²b) und (3ab²) für (e) und (f) in einem quadratischen Verhältnis, also in einem ganz bestimmten
Verhältnis zueinander, vorhanden ist.
Die 3. Potenz von
(a + b + c) führt zu einen etwas längeren Ausdruck
(a + b +c)³ = a³ + a² (3b + 3c) + a (3b² + 3c² + 6bc) + 3b²c + 3bc² + b³ + c³
Auch hier sind die beiden Ausdrücke für (e) und (f)
(3b + 3c) = 3(b +c)
und
(3b² + 3c² + 6bc) = 3(b² + 2bc + c²) = 3(b + c)²
in einem quadratischen Verhältnis zueinander vorhanden, was auch
hier nicht auf eine einfache Lösungsmöglichkeit hinweist.
Bild 10
Cardanische Formel
Die so bezeichnete "Cardanische Formel" zur Lösung von Gleichungen
3. Grades ist bereits nur mehr sehr bedingt anwendbar, ja diese Formel
kann sogar überhaupt zu falschen Lösungen führen. Das
ist auch nicht so verwunderlich wenn man bedenkt dass die Negativen
Zahlen ja aufgrund der Lösungsformel für quadratische
Gleichungen definiert wurden ohne dass es für diese generelle Definition als eine Zahlenart tatsächlich eine
rationale Begründung gibt. Die Anwendung Negativer Zahlen in einer Ableitung muss daher keineswegs generell funktionieren.
Substitution
Zunächst wird bei der kubischen Gleichung das quadratische Element durch Substitution
x = z - e/3
heraus gerechnet und man erhält damit eine Gleichung in reduzierter Form.
(auch hier z als verwechslungssichere Schreibweise)
x³ + ex² + fx + g = 0
mit
x = z - e/3
und
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² + b³
ergibt sich:
x³ + ex² + fx + g = 0
(z-e/3)³ + e(z-e/3)² + f(z-e/3) + g = 0
z³ - 3z²e/3 + 3ze²/9
- e³/27 + ez² - e2ze/3 + ee²/9
+ fz - fe/3 + g = 0
z³ - z²e + ze²/3 - e³/27 + z²e - 2ze²/3 + e³/9 + fz - fe/3 + g = 0
z³ + z(e²/3 - 2e²/3 + f) - e³/27 + e³/9 - fe/3 + g = 0
z³ + z(f - e²/3) + 2e³/27 - fe/3 + g = 0
Das quadratische Element fällt also heraus und mit
p = (f - e²/3) und
q = 2e³/27 - fe/3 + g
ergibt sich eine kubische Gleichung in reduzierter Form:
z³ + pz + q = 0
Um auf der Positiven Seite eine Lösung zu erhalten muss zwar
zumindest ein Vorzeichen Negativ sein, was sich aber auf die
Substitution des quadratischen Elements nicht auswirkt.
Für den Fall dass (ex²) negativ ist ergibt sich:
x³ - ex² + fx + g = 0
x = z + e/3
x³ - ex² + fx + g = 0
(z+e/3)³ - e(z+e/3)² + f(z+e/3) + g = 0
z³ + 3z²e/3 + 3ze²/9
+ e³/27 - ez² - e2ze/3 - ee²/9
+ fz + fe/3 + g = 0
z³ + z²e + ze²/3 + e³/27 - z²e - 2ze²/3 - e³/9 + fz + fe/3 + g = 0
z³ + z(e²/3 - 2e²/3 + f) + e³/27 - e³/9 + fe/3 + g = 0
z³ + z(f - e²/3) + 2e³/27 + fe/3 + g = 0
p = (f - e²/3)
q = 2e³/27 + fe/3 + g
Das quadratische Element fällt also auch hier heraus.
Man könnte übrigens auch sagen dass man hier statt (x = z - e/3) den Ausdruck (x = z + e/3) verwenden muss was aber den in diesem Fall den Regeln für Negative Zahlen entspricht.
Negative Seite:
Wenn man die Negative Seite der Gleichung
x³ + ex² + fx + g = 0
behandeln will, so kann man für die Negative Seite schreiben:
x³ - ex² + fx - g = 0
Dies entspricht der Ableitung für ein Negatives (ex²) der Positiven Seite.
Bzw. bei der Gleichung
x³ - ex² + fx + g = 0
kann man für die Negative Seite schreiben:
x³ + ex² + fx - g = 0
Auf diese Art kann man sicher stellen auch die Negative Seite eindeutig und richtig zu behandeln.
Es gibt schließlich keinen zwangsläufigen Grund dass
die Regeln für Negative Zahlen beliebig funktionieren müssen.
Die Vorstellung von Negativen Zahlen ist schließlich nur daraus
entstanden dass sich damit die Lösungen einer Quadratischen
Gleichung zu einer Formel zusammenfassen lassen.
Reduzierte kubische Gleichung
Eine Gleichung mit nur positiven Vorzeichen
z³ + pz + q = 0
kann allerdings auf der positiven Seite keine Lösung haben.
Wenn man nun auf der positiven Seite eine Lösung haben will so kann man
daher schreiben:
z³ - pz + q = 0
(Bild 11)
Auf diese Weise entspricht das Vorzeichen in der folgenden Ableitung immer dem tatsächlichen Vorzeichen. Man sieht daher ob das nachherige Einsetzen
negativer Werte hier auch tatsächlich funktioniert. (Man könnte auch in der Ableitung einfach tatsächliche Zahlen einsetzen.)
Bild 11
z³ - pz + q = 0
z³ = pz - q
Einsetzen von (u + v) für (z)
z = u + v
(u + v)³ = pz - q
u³ + v³ + 3u²v + 3uv² = pz - q
u³ + v³ + 3uv(u + v) = pz - q
u³ + v³ + 3uvz = pz - q
u³ + v³ + q = pz - 3uvz
Unter der Voraussetzung dass das beide Seiten der Gleichung null sind, also
u³ + v³ + q = 0 = pz - 3uvz
fällt auf der rechten Seite (z) heraus und man erhält:
pz - 3uvz = 0
p - 3uv = 0/z
p - 3uv = 0
Als zweite Gleichung ergibt sich aus der linken Seite:
u³ + v³ + q = 0
Unter der Voraussetzung dass (z) Positiv ist (z = u + v) muss also zumindest die Summe aus (u + v) und daher auch (u³ + v³) positiv sein und es ist daher
u³ + v³ + q = 0
überhaupt nicht möglich.
Die Summe zweier positiver Zahlen (u³ + v³) und (q) kann nicht null sein.
Und hier entsprechen die Vorzeichen schließlich den
tatsächlichen Vorzeichen.
Das heißt für den Fall
z³ - pz + q = 0
ist
u³ + v³ + q = 0
bei positiven (z) überhaupt nicht möglich und daher ist auch
pz - 3uvz = 0
nicht möglich. Es kann daher auch (z) nicht heraus fallen.
Der Ansatz der Cardanischen Formel ist also unter dieser Bedingung von Anfang an sinnlos.
Eine Ableitung ohne
Berücksichtigung der Vorzeichen und erst nachherigens Einsetzen am
Ende der Ableitung funktioniert hier jedenfalls nicht mehr!
Bei
pz - 3uvz = 0
geht übrigens nicht aus den Vorzeichen hervor dass dieser Ausdruck
hier nicht null sein kann. Das heißt dass ein Ausdruck nicht null
sein kann muss nicht unbedingt erkennbar sein. Um etwas Null zu setzen
muss man definitv wissen dass dieser Ausdruck auch null sein kann, was
hier nicht der Fall ist. Man sieht erst am Ende der Ableitung, erst dann wenn
man Zahlen einsetzt, ob ein sinnvolles Ergebnis heraus kommt oder auch
nicht.
Die Nullsetzung ist hier
daher auf jeden Fall spekulativ, selbst wenn es mit anderen Vorzeichen zu einem richtigen Ergebnis führt.
Diese Vorgangsweise ist daher Spekulation und nicht Mathematik!
Eine Gleichung Null zu setzen erfordert schließlich den Nachweis
dass diese Gleichung auch Null sein kann, hier besteht aber sogar
umgekehrt die Tatsache dass diese Gleichung mit bestimmten Vorzeichen
überhaupt nicht Null sein kann.
Die "Erklärung" dieser Nullsetzung mit einem
Koeffizientenvergleich ist keine Erklärung bzw. diese
Erklärung ist ganz offensichtlich falsch.
Man kann es nun ja mit dem Einsetzen von (u - v) für (z) versuchen:
z = u - v
z³ = pz - q
(u - v)³ = pz - q
u³ - v³ - 3u²v + 3uv² = pz - q
u³ - v³ - 3uv(u - v) = pz - q
u³ - v³ - 3uvz = pz - q
u³ - v³ + q = pz + 3uvz
Unter der Voraussetzung dass beide Seiten der Gleichung null sind
u³ - v³ + q = 0 = pz + 3uvz
erhält man
pz + 3uvz = 0
p + 3uv = 0/z
p + 3uv = 0
und
u³ - v³ + q = 0
Nun, wenn (z) positiv sein soll, so muss (u - v) auch positiv sein und (q) ist auch positiv.
Es kommt also wieder auf das gleiche heraus. Die Summe dieser Werte ist
eine positive Zahl und kann daher überhaupt nicht null sein.
Weiters ist
p + 3uv = 0
nicht möglich da hier ja die tatsächlichen Vorzeichen
verwendet werden und daher auch hier die Summe zweier Positiver Zahlen nicht null sein kann.
Es macht daher unter dieser Voraussetzung (z³ - pz + q = 0) bereits der Ansatz zur Cardanischen Formel keinen Sinn
und es ist daher von vornherein nicht zu erwarten dass die Cardanische
Formel in diesen Fall zu einem richtigen Ergebnis führt.
Mit den sogenannten Komplexen Zahlen hat man zwar eine Vorgangsweise
gefunden mit der man zu einer Lösung kommt ohne dass man aber weiß warum es funktioniert.
Wenn (u + v) positiv ist und man mit den Komplexen Zahlen erreicht das
(u³ + v³) negativ ist so erinnert das ganz einfach an Zauberei. Es ist
ja auch nichts anderes als eine Art Korrekturanleitung dafür dass man etwas
null gesetzt hat was nicht null sein kann, ohne dass man zu einem
Verständnis gekommen wäre warum diese Vorgangsweise
funktioniert.
Zwei Zahlen die mit bestimmten Rechenregeln miteinander verbunden sind
als eine Zahlenart zu definieren ist ja auch ohnehin ein
offensichtlicher Unsinn.
Man hat auf empirischen Wege eine Methode gefunden, aber mehr ist es auch schon nicht.
Dass dies mit einer Kreisfunktion funktioniert zeigt ganz einfach dass
eine geometrische Analogie zu einer kubischen Gleichung besteht, nichts sonst.
Es wäre aber schon ein Wunder wenn sich nicht ein Ansatz finden
ließe mit dem man auch ohne diese mehr oder weniger mystische
Vorstellung von "Komplexen Zahlen" zu einem Ergebnis kommen kann.
Das heißt nicht dass dieser Ansatz ganz
einfach ist, denn wäre das der Fall so stünde
dieser Ansatz auch
hier.
Die Negative Seite dieser Gleichung entspricht übrigens dem Ansatz
z³ - pz - q = 0
Ein weiterer interessanter Fall ist nun wenn (pz) und (q) Negativ sind:
z³ - pz - q = 0
(Bild 12)
Bild 12
z³ - pz - q = 0
z³ = pz + q
Einsetzen von (u + v) für (z)
z = u + v
(u + v)³ = pz + q
u³ + v³ + 3u²v + 3uv² = pz + q
u³ + v³ + 3uv(u + v) = pz + q
u³ + v³ + 3uvz = pz + q
u³ + v³ - q = pz - 3uvz
Unter der Voraussetzung dass beide Seiten der Gleichung null sind
u³ + v³ - q = 0 = pz - 3uvz
ergibt sich
pz - 3uvz = 0
p - 3uv = 0/z
p - 3uv = 0
und
u³ + v³ - q = 0
Man hat dann die beiden Gleichungen:
u³ + v³ = q
p = 3uv
An den Vorzeichen ist hier nicht zu erkennen dass etwas verkehrt
wäre, was freilich noch nicht ein Nachweis dafür ist dass diese
Nullsetzung auch tatsächlich berechtigt ist.
Es wird aber auch gleich ganz interessant wenn man Zahlen einsetzt:
u = 2 v = 2
u³ + v³ = q
8 + 8 = 16 q = 16
3uv = p
3 . 2 . 2 = 12 p = 12
u = 2,5 v = 0,721
u³ + v³ = q
15,625 + 0,375 = 16 q = 16
3uv = p
3 . 2,5 . 0,721 = 5,4 p = 5,4
Das heißt also wenn
u = v
ist, so ergibt sich das größtmögliche (p), bei einem ganz
bestimmten (q).
Bei einem größeren (p) ist auch hier der Ansatz
der Cardanischen Formel sinnlos.
Oder umgekehrt bei einem bestimmten (p) ist der Ansatz bei einem kleineren (q) sinnfrei.
Der Grenzwert ist also mit
u = v
q = u³ + v³
q = 2u³
u = ³V(q/2)
p = 3uv
p = 3u²
u = ²V(p/3)
für p
p = 3(³V(q/2))²
bzw. für q
q = 2(²V(p/3))³
Der Ansatz der Cardanischen Formel ist mit den Vorzeichen
z³ - pz - q = 0
also nur bis zu einem bestimmten Verhältnis von p und q anwendbar!
Wenn dieser Grenzwert überschritten wird ist also auch hier der Ansatz zur Cardanischen Formel sinnlos.
Auch hier hat man mit den sogenannten Komplexen Zahlen eine Methode gefunden, eine Methode freilich wo man nicht weiß warum sie funktioniert.
Wenn man es mit
z = u - v
betrachtet:
(u - v)³ = pz + q
u³ - v³ - 3u²v + 3uv² = pz + q
u³ - v³ - 3uv(u - v) = pz + q
u³ - v³ - 3uvz = pz + q
u³ - v³ - q = pz + 3uvz
u³ - v³ - q = 0 = pz + 3uvz
Mit (z
= u - v) sind also wieder beide Werte auf der rechten Seite (pz + 3uvz =
0) positiv und können daher in Summe nicht null sein. Mit
dem Ansatz (u - v) funktioniert es also auch hier überhaupt nicht.
Unter der Voraussetzung dass (p) eine bestimmtes Verhältnis zu (q) nicht überschreitet
kann man also mit dem bestehenden Ansatz
z = u + v
fortfahren.
u³ + v³ = q
u^6 + 2u³v³ + v^6 = q² Quadrieren
uv = p/3
u³v³ = p³/27 kubisch
4u³v³ = 4p³/27 mal 4
u^6 + 2u³v³ + v^6 = q²
4u³v³
= 4p³/27
Subtraktion
u^6 - 2u³v³ + v^6 = q² - 4p³/27
(u³ - v³)² = q² - 4p³/27
u³ - v³ = ²V(q² - 4p³/27)
Hier wird nun in der üblichen Ableitung Plus/Minus vor der Wurzel auf der rechten Seite gesetzt.
Das ist hier aber völlig unbegründet. Bei der Quadratischen
Gleichung ergibt es sich daraus dass dort ja tatsächlich zwei
Lösungen möglich sind, (a² - 2ab + b²) ergibt sich
aus (a - b)² aber eben auch aus (b - a)²
Hier gibt es dagegen keinerlei diesbezügliche Begründung,
dass Plus/Minus Vorzeichen vor der Wurzel ist hier daher unbegründet und sinnlos.
u³ - v³ = ²V(q² - 4p³/27)
u³ + v³ = q
Addition
2u³ = q + ²V(q² - 4p³/27)
u³ = q/2 + (²V(q² - 4p³/27))/2 = q/2 + ²V(q²/4 - p³/27)
u = ³V(q/2 + ²V(q²/4 - p³/27))
u³ - v³ = ²V(q² - 4p³/27)
u³ + v³ = q
Subtraktion
-2v³ = - q + ²V(q² - 4p³/27)
2v³ = q - ²V(q² - 4p³/27)
v³ = q/2 - (²V(q² - 4p³/27))/2 = q/2 - ²V(q²/4 - p³/27)
v = ³V(q/2 - ²V(q²/4 - p³/27))
z = u + v
z = ³V(q/2 + ²V(q²/4 - p³/27)) + ³V(q/2 - ²V(q²/4 - p³/27))
Da hier in der Ableitung bereits die Vorzeichen für (p) und (q)
berücksichtigt wurden entspricht dieses Ergebnis der bestehenden
Ableitung der Cardanischen Formel. Es ist hier eben der Betrag von (p) und (q) einzusetzen.
Bei der bestehenden Ableitung werden allerdings völlig
unbegründet für (u) und (v) verschiedene Vorzeichen
verwendet. Wenn denn Plus/Minus vor der Wurzel tatsächlich immer
einen Wert ergäbe, wie das bei der quadratischen Gleichung ja
tatsächlich der Fall ist, so müsste ja für beide
Werte Plus und Minus gelten und man hätte für (z) dann zumindest drei
Werte (+u +v, -u -v, +u -v). Dagegen sucht man sich hier für (u) und (v) jeweils einen
Wert
aus, den man vermeint hier gerade gebrauchen zu können. Bei der
quadratischen Gleichung haben zwar auch nicht immer beide Werte eine
Bedeutung, die mathematische Funktion hat aber in der Form in der sie
definiert ist immer zwei Ergebnisse.
Hier wird dagegen eine völlig willkürliche Interpretation
verwendet die durch nichts begründet ist, wenn auch dadurch kein
Fehler entsteht.
Diese Plus/Minus Interpretation macht keinen Sinn und ist hier auch nicht notwendig, Addition
und Subtraktion der beiden Gleichungen führen bei Berücksichtigung der Vorzeichen auch so zum richtigen
Ergebnis.
Die Negative Seite entspricht in diesem Fall dem Ansatz
z³ - pz + q = 0
Nun noch der einfachere Fall dass nur (q) negativ ist
z³ + pz - q = 0
(Bild 13)
Bild 13
z³ + pz - q = 0
z³ = - pz + q
Einsetzen von (u + v) für (z)
z = u + v
(u + v)³ = - pz + q
u³ + v³ + 3u²v + 3uv² = - pz + q
u³ + v³ + 3uv(u + v) = - pz + q
u³ + v³ + 3uvz = - pz + q
u³ + v³ - q = - pz - 3uvz
Unter der Voraussetzung dass beide Seiten null sind
u³ + v³ - q = 0 = - pz - 3uvz
erhält man die beiden Gleichungen
u³ + v³ - q = 0
u³ + v³ = q
und
pz + 3uvz = 0
p + 3uv = 0/z
p + 3uv = 0
Der Ausdruck
p + 3uv = 0
kann allerdings auch hier nicht null sein, es sei denn (u) oder (v) sind negativ.
Man kann es daher mit dem Ausdruck
z = u - v
versuchen (um auch hier mit tatsächlichen Vorzeichen sicher zu stellen dass es auch tatsächlich funktioniert).
(u - v)³ = - pz + q
u³ - v³ - 3u²v + 3uv² = - pz + q
u³ - v³ - 3uv(u - v) = - pz + q
u³ - v³ - 3uvz = - pz + q
u³ - v³ - q = 3uvz - pz
Unter der Voraussetzung dass beide Seiten null sind
u³ - v³ - q = 0 = 3uvz - pz
ergibt sich wieder
3uvz - pz = 0
3uv - p = 0/z
3uv - p = 0
3uv = p
und
u³ - v³ - q = 0
u³ - v³ = q
An den Vorzeichen dieser beiden Gleichungen ist nun kein Fehler zu
erkennen, was auch hier freilich noch nicht ein Nachweis dafür ist
dass die Nullsetzung tatsächlich berechtigt ist.
Man hat nun also die beiden Gleichungen:
u³ - v³ = q
uv = p/3
u³ - v³ = q
u^6 - 2u³v³ + v^6 = q² Quadrieren
uv = p/3
u³v³
= p³/27
Kubisch
4u³v³ = 4p³/27
mal 4
u^6 - 2u³v³ + v^6 = q²
4u³v³
= 4p³/27
Addition
u^6 + 2u³v³ + v^6 = q² + 4p³/27
(u³ + v³)² = q² + 4p³/27
u³ + v³ = ²V(q² + 4p³/27)
u³ + v³ = ²V(q² + 4p³/27)
u³ - v³ = q
Addition
2u³ = q + ²V(q² + 4p³/27)
u³ = q/2 + (²V(q² + 4p³/27))/2 = q/2 + ²V(q²/4 + p³/27)
u = ³V(q/2 + ²V(q²/4 + p³/27))
u³ + v³ = ²V(q² + 4p³/27)
u³ - v³ = q
Subtraktion
2v³ = - q + ²V(q² + 4p³/27)
v³ = - q/2 + (²V(q² + 4p³/27))/2 = - q/2 + ²V(q²/4 + p³/27)
v = ³V(-q/2 + ²V(q²/4 + p³/27))
z = u - v
z = ³V(q/2 + ²V(q²/4 + p³/27)) - ³V(- q/2 + ²V(q²/4 + p³/27))
z = ³V(q/2 + ²V(q²/4 + p³/27)) + ³V(q/2 - ²V(q²/4 + p³/27))
Das Plus/Minus vor der Wurzel und dessen sinnfreie Interpretation ist auch hier überflüssig.
Auch hier kommt man wieder auf das gleiche Ergebnis wie bei der bestehenden Ableitung, nur das hier eben
das Vorzeichen für (q) bereits in der Ableitung
berücksichtigt wurde und daher hier der Betrag von q einzusetzen ist.
Hier entspricht die Negative Seite dem Ansatz
z³ + pz + q = 0
was allerdings von vornherein auf dieser Seite keinen Nulldurchgang und daher auch keine Lösung haben kann.
Schlussfolgerung
Nullsetzung
Die Nullsetzung zweier Seiten einer Gleichung
u³ + v³ + q = 0 = - 3uvz - pz
(hier ohne Berücksichtigung der tatsächlichen Vorzeichen)
funktioniert
offensichtlich
nur unter bestimmten Voraussetzungen. Selbst dort wo diese Nullsetzung
funktioniert sieht man erst am Ende der Ableitung, beim Einsetzen von
Zahlen, ob hier ein sinnvolles Ergebnis heraus kommt oder auch nicht.
Ein vorheriger
Nachweis dass diese Nullsetzung auch berechtigt ist erfolgt nirgendwo,
sondern es ist zunächst reine Spekulation und das ist nicht Mathematik.
Die Erklärung
mit einem Koeffizientenvergleich ist ganz offensichtlich
unzutreffend.
Nachdem diese Nullsetzung unter bestimmten Bedingungen ganz
offensichtlich falsch ist, kann das nur heißen dass man in diesen
Fällen nach einem neuen Ansatz suchen muss.
Wenn man das Ergebnis der Cardanischen Formel betrachtet so sieht man
dass man mit der Summe aus zwei dritten Wurzeln zu einer Lösung kommt.
Man könnte sich daher fragen ob es nicht möglich ist zu einer
Lösung zu kommen wenn man gleich von Anfang an die kubische
Gleichung in zwei Gleichungen aufteilt, möglicherweise sogar ohne
Substitution des quadratischen Elements.
Wenn man beide Seiten einer kubischen Gleichung (Positive und Negative
Seite) getrennt als eine eigene Funktion betrachtet und immer die tatsächlichen Vorzeichen
verwendet und darüber hinaus nur jene Regeln für Negative
Zahlen anwendet die auch
tatsächlich verifizierbar sind, so wäre es schon ein Wunder
wenn sich nicht für alle kubischen
Gleichungen eine eindeutige Lösung finden ließe, auch ohne
diese mystische Vorstellung von sogenannten Komplexen Zahlen.
Das heißt, wie gesagt, nicht dass dieser Ansatz zu einer solchen
Lösung einfach sein muss denn sonst stünde dieser Ansatz auch
hier.
Plus/Minus Vorzeichen
Das Plus/Minus Zeichen vor der Wurzel in der späteren Ableitung
u³ - v³ = + ²V(q² - 4p³/27)
ist ebenso unbegründet wie überflüssig.
Die spätere Interpretation dieser Vorzeichen ist völlig
willkürlich und ebenfalls unbegründet.
Dort wo die Cardanische Formel zu einer Lösung führt kommt
man ohnehin auch ohne dieses unbegründete Plus/Minus Vorzeichen zu
einer Lösung. Man muss nur tatsächliche Vorzeichen verwenden.
Quadrieren
Ein weiterer nicht ganz uninteressanter Fall ist wenn das Quadrat der folgenden Gleichung gebildet wird.
Wenn man die Ableitung in der bekannten Form ohne die
tatsächlichen Vorzeichen zu verwenden, sieht das
folgendermaßen aus:
u³ + v³ = - q
u^6 + 2u³v³ + v^6 = q² Quadrieren
Das Verschwinden des Minus Zeichens durch das Quadrieren auf der rechten Seite erscheint hier zunächst etwas unmotiviert.
Wenn man in die beiden Gleichungen eine Zahl einsetzt also z.B. (q = 2) so sehen die beiden Zeilen folgendermaßen aus:
- 2 = - 2
4 = 4
Diese einseitige
Vorzeichenänderung wirkt sich beim Einsetzen von Zahlen nicht
aus da ja in Wirklichkeit auf beiden Seiten einer Gleichung der der
gleiche Zahlenwert stehen muss. Wenn rechts ein Negativer Zahlenwert
steht so muss schließlich auch links ein Negativer Zahlenwert
stehen.
Für q = - 2
2 = 2
4 = 4
Auch hier wirkt sich diese Vorzeichenänderung aus dem gleichen
Grund nicht aus. Wenn man Zahlen einsetzt so besteht diese einseitige
Vorzeichenänderung überhaupt nicht.
Dass hier kein Fehler entsteht beruht also darauf dass auf beiden
Seiten
einer Gleichung letztendlich der gleiche Zahlenwert stehen muss. Man
sieht auch hier wieder dass sich mit Negativen Zahlen ein weitgehendes
System von Methoden ergibt, ob man sich nun dieser Methoden im
einzelnen bewusst ist oder eben auch nicht. Die Definition mit
Negativen Zahlen führt hier
zwar zu keinen Fehler es macht aber auch keinen Sinn.
Es bleibt freilich die Frage ob unter komplizierteren Voraussetzungen,
wo es vielleicht mehrere Zwischenschritte gibt, nicht doch ein Unsinn
damit passieren kann. Eine Garantie dafür dass es immer, auch
unter komplizierteren Voraussetzungen funktionieren muss besteht
jedenfalls durchaus nicht.
Das ganze funktioniert übrigens durchaus auch wenn man die
Definition umdrehen würde und das Plus Zeichen als
Negations-Zeichen verwenden würde. Das ist auch nicht zu
überraschend denn sonst müsste mit dem Minus-Zeichen
schon irgend ein Zauber verbunden sein.
u³ + v³ = - q
- (u^6 + 2u³v³ + v^6) = - q² Quadrieren
für q = 2
2 = 2
- 4 = - 4
für q = - 2
- 2 = - 2
- 4 = - 4
So sieht man gut dass man die Regeln für Negative Zahlen genau so
gut für Positive Zahlen anwenden könnte, es würde genau
so funktionieren. Wie gesagt es müsste sonst ja auch ein Zauber
mit dem Minus Zeichen verbunden sein, wovon eher nicht auszugehen ist.
Man sieht es hier sogar besonders gut.
Man definiert die eine Seite als Ausgangsrichtung (Positiv) und die
andere Seite als Gegenrichtung (Negativ) dazu. Das Vorzeichen der
Gegenrichtung verwendet man als eine Art generelles Negationszeichen.
Damit ergibt sich eine weitgehend funktionierende Methode. Das
würde aber umgekehrt genau so funktionieren.
Nur dass es eben reichlich unpraktisch wäre denn in der
Ausgangsrichtung rechnet man ja bevorzugt und man müsste dann
ständig erklären warum man diese oder jene Regel der
Positiven Zahlen da und dort nicht anwenden kann. Aber, wie gesagt,
funktionieren würde es damit genau so.
Die Nullsetzung vorher zeigt freilich dass diese Methode nicht immer funktionieren muss!
Es würde übrigens
auch dann funktionieren wenn man die Vereinbarung trifft dass das
Vorzeichen einer Zahl beim Quadrieren erhalten bleibt, allerdings
müsste man die Regeln für das Multiplizieren von Differenzen
schon anwenden.
u³ + v³ = - q
u^6 + 2u³v³ + v^6 = - q² Quadrieren
für q = 2
- 2 = - 2
- 4 = - 4
für q = - 2
2 = 2
4 = 4
Mit einem Wort man kann hier so ziemlich definieren was man will,
tatsächlich können zwar die Vorzeichen auf beiden Seiten bei
allgemeiner Schreibweise unterschiedlich sein, aber niemals wenn man
Zahlen einsetzt, sonst wäre die Gleichung ja von vornherein falsch.
Etwas anderes ist wenn man nachher die Wurzel zieht:
a = - b
a² = b²
²V(a²) = ²V(b²)
a = b
Nun, wenn man Zahlen einsetzt so stimmt es auch nach der Wurzel wieder,
denn es wird in dem Fall auf beiden Seiten die gleiche Zahl (2) stehen.
Nur die Information dass (a) dem Wert von (b) entgegengerichtet ist,
diese Information ist jetzt weg.
Sicher, wenn man unmittelbar danach die Wurzel zieht so wird man eben
die Erklärung anwenden dass die Wurzel aus (b²) Plus/Minus (b) sei. Unter normalen Umständen wendet man es aber
nicht an und insbesondere wenn hier ein paar Zwischenschritte vorhanden
sind wird man diese Plus/Minus Regel kaum anwenden und dann ist die
Information verloren.
Allenfalls könnte man auch sagen dass (a = + 2) und (b = + 2) ist, was aber erst recht keinen Sinn macht.
Wie diese Plus-Minus Regel exakt anzuwenden ist, ist schließlich
nirgendwo definiert, man wendet diese Regel faktisch nach Belieben an
bzw. wie man halt gerade glaubt diese Regel gebrauchen zu können.
Viel unexakter kann elementare Mathematik nicht definiert sein, um nicht zu sagen viel saumäßiger geht es nicht.
Genau diese Information über das Vorzeichen bleibt eben, unter anderen
Umständen,
durch die "Imaginäre Einheit" bzw. die Komplexen Zahlen erhalten.
Die "Imaginäre Einheit" ist schließlich nichts anderes als
eine Vorzeichen-Merkzahl und die Komplexen Zahlen sind eine
dazugehörige Rechenregel.
Im gegenständlichen Fall bei der
Ableitung der reduzierten Kubischen Gleichung wird diese
Plus/Minus Regel, wie gesagt, ja auch ganz einfach nach Gutdünken
angewendet und nicht nach irgend einer tatsächlich nachvollziehbaren Vorgangsweise.
Eindeutige Definition
Man kann diese verschwommene Plus-Minus Regel vor der Wurzel auf zwei Arten umgehen und auf
diese Weise zu einer eindeutig definierten Vorgangsweise kommen.
Erstens kann man, wie hier vorher beim Nachvollziehen der Cardanischen Formel angewendet, tatsächliche Vorzeichen
verwenden, also ein Minus bereits in der Ableitung verwenden wo eben
tatsächlich ein Minus ist. Dann können auf den beiden Seiten einer Gleichung
überhaupt nicht zwei unterschiedliche Vorzeichen auftreten, denn sonst wäre die Gleichung falsch.
- a = - b
a² = b²
²V(a²) = ²V(b²)
a = b
Wenn sich beim Quadrieren auf beiden Seiten die Vorzeichen ändern
so hat das schließlich keinen Einfluß auf das Ergebnis. Diese
undefinierte Plus/Minus Regel beim Wurzel ziehen ist damit überflüssig.
Die zweite Möglichkeit wäre dass man das Vorzeichen beim Quadrieren beibehält:
a = - b
a² = - b²
²V(a²) = ²V(- b²)
a = - b
Auch damit besteht eine eindeutige Definition und man braucht auch hier
nicht diese verschwommene Plus/Minus Regel beim Wurzel ziehen.
Das heißt übrigens natürlich nicht dass
nachvollziehbare Regeln wie die Multiplikation von Differenzen nicht
anzuwenden wären.
Fest steht dass es zwei Möglichkeiten einer exakt definierten
Vorgangsweise gibt wo diese ungenaue Definition der Plus/Minus
Regel nicht angewendet werden muss.
Subtraktion
Ein weiterer ganz interessanter Fall ist die folgende Subtraktion:
u^6 + 2u³v³ + v^6 = q²
4u³v³
= - 4p³/27
Subtraktion
u^6 - 2u³v³ + v^6 = q² + 4p³/27
Wenn (u) oder (v) negativ ist so sind auch (2u³v³) in der
ersten Zeile negativ und (4u³v³) in der zweiten Zeile muss
ebenfalls negativ sein. Nach der Subtraktion dreht sich also nur das
Vorzeichen um und es steht dann eben in Zahlenwerten
ausgedrückt in der dritten Zeile (+ 2u³v³).
Es entsteht daher auch bei negativen Zahlenwerten kein Fehler, da sich
in beiden Fällen die Vorzeichen des tatsächlichen Zahlenwertes
umkehren.
Aber auch hier wird niemand mit Sicherheit sagen können dass unter
komplizierteren Voraussetzungen, wenn etwa mehrere Zwischenschritte
erfolgen damit nicht doch ein Fehler passieren kann, nämlich dass
man in Zahlenwerten eingesetzt, etwa statt (- 2u³v³) bzw. allgemein statt (- 2ab) oder (+ 2ab) den Ausdruck (- 6ab) oder (+ 6ab)
erhält.
Wenn man immer tatsächliche Vorzeichen verwendet dann kann auch hier kein Fehler passieren.
Schlusspunkt
Die Nullsetzung beider Seiten einer Gleichung bei der Ableitung der
Kubischen Gleichung ist mit bestimmten Vorzeichen ganz einfach falsch,
die
Cardanische Formel kann daher unter bestimmten Voraussetzungen
überhaupt nicht zu einem richtigen Ergebnis führen.
Unter diesen Voraussetzungen muss man ganz einfach einen neuen Ansatz zur Lösung der Kubischen Gleichung finden.
Dieser Ansatz mag nicht ganz einfach sein, dass man aber unter der
Voraussetzung dass man immer nur eine Seite (Positive Seite oder Negative Seite) als eine eigene Funktion betrachtet und nur jene Regeln für Negative
Werte verwendet die auch tatsächlich verifizierbar sind (Multiplikation
von Differenzen, Subtraktionszeichen, etc.) und im Ansatz der Ableitung immer
tatsächliche Vorzeichen verwendet (Plus und Minus Zeichen), so wäre es schon ein
Wunder wenn kubische Gleichungen damit nicht eindeutig und ohne diese
mystische Vorstellung von Komplexen Zahlen zu lösen sein sollten.
Und es wäre wohl auch eine Überraschung wenn auf diese Weise
nicht auch Gleichungen höherer Ordnung eindeutig lösbar sein
sollten.
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Negative Zahlen und Komplexe Zahlen
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Hier sind noch einmal die beiden Links zur Ableitung der Kubischen Gleichung:
Gleichung 3 Grades
Cardanische Formel
Robert
Markweger
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26. 8. 2020 l.Ä. 29.3.2021
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