Negative Zahlen und Komplexe Zahlen

Robert Markweger

Negative Zahlen und Komplexe Zahlen

Durch die Definition Negativer Zahlen werden zwei grundverschiedene Dinge mit einer Zahlenart definiert, einmal eine Richtungsangabe (einer bestimmten Richtung entgegengesetzt) und zum anderen wird das negative Vorzeichen als eine Art generelles Negationszeichen verwendet.
Damit ergeben sich eine Reihe von Rechenregeln und Rechenmethoden, es ist aber eben auch nicht mehr als eine Reihe von einzelnen Regeln und Methoden.
Dies führt dann auch dazu dass man unter bestimmten Voraussetzungen eine Vorzeichen-Merkzahl die sogenannte "Imaginäre Einheit" braucht und eben auch die dazugehörigen Rechenregeln die sogenannten "Komplexen Zahlen".
Die Negativen Zahlen sind um 1500 aus der Lösungsformel für Quadratische Gleichungen entstanden, die Komplexen Zahlen daraus dass die Negativen Zahlen bei der Lösung Kubischer Gleichungen nur noch bedingt anwendbar sind.
Die Definition beider Zahlenarten beruht auf empirischer Vorgangsweise aber nicht auf rationaler Erkenntnis.

Im Grunde genommen ist es durchaus einfach.
Wie im Bild 1 dargestellt kann man in die eine Richtung zählen (X) und in die Gegenrichtung (-X).
Im Prinzip sind die beiden Richtungen völlig gleich nur dass sie einander entgegengesetzt sind. Gerade so gut könnte man die eine Richtung als A-Richtung bezeichnen und die andere B-Richtung, oder als nach Links und nach Rechts, oder in Richtung Westen und Osten oder womit man auch immer die beiden Richtungen kennzeichnen mag.
Die eine Richtung ist der jeweils anderen Richtung entgegengesetzt, die beiden Richtungen unterscheiden sich aber sonst nicht voneinander. Das Zeichen der einen Richtung (-) gleichzeitig als eine Art generelles Negationszeichen zu verwenden ist willkürlich, wenngleich sich damit einige Methoden ergeben mit denen man rechnen kann.
Die beiden Richtungen unterscheiden sich auch nicht wenn man sich in beide Richtungen entgegengesetzt wirkende gerichtete Größen wie Kräfte vorstellt, oder Soll und Haben, oder etwa die Sessel die man in einem Raum stehen hat und in die Gegenrichtung jene Sessel aufträgt die im nächsten Raum stehen. Die beiden Richtungen unterscheiden sich nicht voneinander.

Eine Kraft die in die eine Richtung wirkt hat keine andere Eigenschaft als eine Kraft die in die Gegenrichtung wirkt. Mein Soll ist das Haben der Bank und mein Haben ist ein Soll der Bank mir gegenüber. Es ist nur die Frage aus wessen Sicht man es betrachtet.
Dasselbe gilt auch wenn man etwa die Sessel zweier Räume als Positiv und Negativ betrachtet, man kann zwar die Sessel zwischen beiden Räumen hin und herschieben, davon bekommen sie aber keine anderen Eigenschaften.
Davon dass man das Quadrat einer Kraft bildet die in negativer Richtung wirkt, wird daraus nicht etwas das in die positive Richtung wirkt, daraus dass man das Quadrat von Soll bildet wird davon nicht Haben und davon dass man das Quadrat der Sessel bildet die in dem einen Raum stehen, werden daraus noch nicht Sessel die im anderen Raum stehen.

Auch die Aussage dass die Regeln für Negative Zahlen nur für gerichtete physikalische Größen keine Gültigkeit hätten stimmt in der Form nicht, denn tatsächlich gibt es überhaupt nichts wofür man die Regeln für Negative Zahlen generell anwenden könnte.

Von Null kann man nichts abziehen, es kann nur etwas entgegengesetzt wirken, gleichgültig ob es sich nun um eine gerichtete physikalische Größe handelt oder auch um irgend etwas anderes wie Soll und Haben. Entgegengesetzt wirkende Größen haben in beide Richtungen aber keine unterschiedlichen Eigenschaften.
Es kann sich daher beim Rechnen mit Negativen Zahlen zwangsläufig nur um eine Zusammenfassung von Rechenregeln und Methoden handeln.

Man könnte sich auch fragen was eigentlich eine Zahl ist.
Zwei plus Zwei ist Vier ob es sich nun um Äpfel handelt oder um Sessel oder um Nm Drehmoment oder kW Leistung. Man kann also ruhig weglassen worum es sich handelt, das ist dann eine Zahl. Weniger als Nichts gibt es allerdings nicht und auch so betrachtet sieht man wie sinnfrei die Definition Negativer Zahlen ist.

Man definiert eine Richtung als Positiv, diese Richtung wird bevorzugt verwendet. Eine entgegengesetzte Richtung definiert man als dazu Negativ, wobei das Richtungszeichen dieser Richtung gleichzeitig als eine Art Negationszeichen verwendet wird. Es werden also Richtungszeichen dieser Richtung und ein Negationszeichen zusammen gewürfelt.
Diese Vorgangsweise mit einer eigenen Zahlenart, den Negativen Zahlen, zu definieren ist ganz einfach ein fester Unsinn.
Es ergeben sich damit Methoden und Regeln, aber eben auch nicht mehr.

Historisch ist die Vorstellung von einer Existenz Negativer Zahlen übrigens dadurch entstanden dass man auf empirischen Wege gefunden hat dass sich die Lösungen quadratischer Gleichungen zu einer Art Summenformel zusammenfügen lassen. Zu einem Verständnis der Zusammenhänge ist es freilich damals nicht gekommen und bis heute, bisher, auch noch nicht. Diese Zusammenhänge sind aber durchaus erklärbar.

Bei einer Kubischen Gleichung funktionieren die Regeln für Negative Zahlen nicht mehr beliebig, was zu einer Vorstellung von einer "Imaginären Einheit" bzw. den "Komplexen Zahlen" geführt hat. Auch hier ist man zu keinerlei Verständnis für die Zusammenhänge gekommen, die Vorstellung von einer Existenz Komplexer Zahlen gehört schon eher in die Kategorie des Schwachsinns.

Regeln durch Negative Zahlen

Was sind nun die Regeln die durch die "Negativen Zahlen" zusammengefasst werden?

Zunächst einmal heißt Plus und Minus in die eine Richtung addieren und in die jeweils andere Richtung subtrahieren (Bild 1). Das wird sofort noch deutlicher wenn man statt von Plus und Minus von einer A-Richtung und einer B-Richtung spricht. "A" hieße in die A-Richtung addieren und in die B Richtung subtrahieren für das Zeichen "B" wäre es genau umgekehrt.

Minuszeichen als Negationszeichen

Der nächste Punkt ist das Auftreten eines Negativen Vorzeichens als ein zweites Vorzeichen.

-(-X) = +X

-(+X) = -X

Wenn man das als A- und B-Richtung schreibt, nämlich

B(B) = A

B(A) = B

so sieht man sofort wie willkürlich es ist das Auftreten von B als ein zweites Zeichen also B(B) oder B(A) als Umkehrung der Richtung anzusehen, also B als zweites Zeichen als ein Negationszeichen zu verwenden. Das heißt nicht dass man mit einer solchen Vereinbarung nicht rechnen kann, aber es ist eine sehr willkürliche Vereinbarung unabhängig davon ob man nun eine A-Richtung und in eine B-Richtung verwendet oder ein Plus und Minus als Vorzeichen.

Tatsächlich wird hier das Minuszeichen einmal als Richtungszeichen verwendet und einmal als ein Negationszeichen. Sicher, man kann auch sagen dass bereits das erste Minuszeichen in der Klammer (-X) ein Negationszeichen sei denn es kehrt ja die Richtung von (X) um. Nur mit dem gleichen Recht kann man die Positive Seite (X) als eine Umkehrung der Negativen Seite (-X) ansehen, bzw. die A-Seite ist genau so gut die Umkehrung B-Seite. Beide Seiten unterscheiden sich schließlich nicht voneinander, beide Richtungen verhalten sich wechselseitig gleich.
Das Plus-Zeichen als zweites Zeichen +(+X) oder +(-X) bedeutet hier einfach dass die Richtung von X gleich bleibt.

Das Minus Zeichen hat hier also ganz offensichtlich zwei Bedeutungen, einmal gibt es ganz einfach die Richtung von X an und als ein zweites Zeichen hat es die Bedeutung eines Negationszeichen.
Die ganz grundlegende Zahlendefinition beruht also auf der Verwendung eines der beiden Richtungszeichen gleichzeitig als Negationszeichen wenn es als ein zweites Zeichen verwendet wird.
Das ist willkürlich und alles andere als eine eindeutige Definition, denn das Minuszeichen hat damit zwei verschiedene Bedeutungen und das Plus-Zeichen letztendlich auch.

Es ist also schon von daher kein Wunder dass man später unter bestimmten Voraussetzungen eine etwas eigenartige Zahlendefinition, die sogenannten "Komplexen Zahlen", braucht.

Multiplikation
Völlig analog verhält es sich wenn man die Multiplikation betrachtet.
Auch hier ist es willkürlich wenn man ein zweimaliges Auftreten des Minus-Zeichens

(-) * (-) = (+)

als Plus gerichtet definiert. Wenn man statt dessen

B*B = A

schreibt und daher B*B als A gerichtet ansieht, so sieht man sofort wie willkürlich diese Definition ist.

Wenn man also z.B. eine Konstante mit einer Variablen multipliziert, also k*X so wird durch das Vorzeichen von X die Richtung angegeben. Beim Vorzeichen von k besteht die Vereinbarung dass bei positiven Vorzeichen der Richtung von X erhalten bleibt, k daher einfach als Faktor wirkt, ein negatives Vorzeichen dagegen die Umkehrung der jeweiligen Richtung bewirkt, also dieses Vorzeichen als Negationszeichen verwendet wird.
Selbstverständlich kann man mit dieser willkürlichen Vereinbarung durchaus rechnen, aber es gibt keinerlei grundsätzliche Überlegung bzw. so etwas wie ein Naturgesetz dass man es so handhaben muss. Auch hier hat das negative Vorzeichen zwei unterschiedliche Bedeutungen.

Man sieht daran bereits ganz gut die Methode. Man definiert eine der beiden Richtungen als Ausgangsrichtung die man bevorzugt verwendet. Die Gegenrichtung dazu definiert man quasi als Negativ dazu und verwendet das Vorzeichen dieser Gegenrichtung gleichzeitig als eine Art Negationszeichen. Eine Methode ist das allemal.
Aber es würde genau so gut funktionieren wenn man die Regeln für das Plus-Zeichen und Minus-Zeichen vertauschen würde.
Etwas Negatives an sich gibt es ja nicht, es ist eine weitgehend funktionierende, aber eben durchaus willkürliche Methode. Wie gesagt diese Methode hat dann später ihre Grenzen auch.

Wenn man nun das Quadrat von X bildet so wird durch die Definition negativer Zahlen eben die Richtung der einen Seite umgekehrt.

(-X)² = X²

Wenn man sich eine A-Richtung und eine B-Richtung vorstellt sieht man wieder sofort wie wilkürlich dies ist.

B² = A²

Natürlich ist die sich daraus ergebende Methode überall dort anwendbar wo tatsächlich eine Symmetrie besteht, also vor allem bei geometrischen Zusammenhängen die mit einer quadratischen Gleichung beschrieben werden, im einfachsten Fall bei einem Kegelschnitt, also einer Parabel. Aber auch der Schnitt einer Geraden mit einem Kreis wird mit einer quadratischen Gleichung beschrieben, was in der Geometrie sehr häufig vorkommt.
Bei entgegen gesetzt gerichteten physikalischen Größen oder auch bei Soll und Haben ist damit meist nichts anzufangen. Denn, wie gesagt, davon dass man das Quadrat von Soll bildet wird daraus noch nicht Haben.
Tatsächlich ignorieren wir in solchen Fällen die Regeln für Negative Zahlen, wir rechnen damit ganz normal wie mit positiven Zahlen auch, nur dass wir uns halt merken dass es sich um Soll handelt. Das gleiche tun wir bei gerichteten physikalischen Größen wie Kräften auch, wir merken uns ganz einfach die Richtung.
Auch bei Bewegungsgleichungen ist damit nichts anzufangen, man bleibt ganz einfach auf der positiven Seite.

Auch wenn wir die Wurzel aus einer Negativen Zahl ziehen wollten, also etwa aus dem eigenen Soll, so behandeln wir auch in dem Fall das Soll ganz normal wie Positive Zahlen auch und merken uns halt dass es Soll ist. Allenfalls erklären wir das Soll, also die Negative Zahl, zum Betrag und ziehen halt dann daraus die Wurzel. Die gleiche Vorgangsweise verwenden wir auch wieder bei gerichteten physikalischen Größen.

Umgekehrt wird ja auch, nachdem das Quadrat einer Negativen Zahl als Positiv definiert wird, auch umgekehrt definiert dass die Wurzel aus einer Positiven Zahl sowohl Positiv als auch Negativ sein kann. Tatsächlich wendet man diese Definition außer bei der Lösung quadratischer Gleichungen nirgendwo an, es ist sonst auch völlig sinnlos. Diese Lösungsformel war letztendlich auch die Ursache für diese Definition.
Man stelle sich nur vor man würde diese Regel z. B. bei folgender Gleichung anwenden:
a = b + ²V(c) + d oder auch a = b - ²V(c) + d
Es würde das Ergebnis der Wurzel umkehren und das wäre hier glatter Unsinn.

Beide Vorgangsweisen beim Quadrieren bzw. beim Wurzelziehen mit einer Zahlenart den Negativen Zahlen zu definieren und damit diese Regeln generell anzuwenden, hat mit einer exakten mathematischen Definition absolut nichts zu tun.

Durch die durchaus sinnfreie Definition Negativer Zahlen unterscheidet sich auch die Vektorrechnung mehr als notwendig von grundlegender Definition in der Mathematik.

Unabhängigkeit vom Vorzeichen

Eine weitere Anwendung ist dass dort wo eine quadratische Funktion einer gerichteten Größe, etwa einer Kraft, vom Vorzeichen dieser Kraft unabhängig ist. Man erhält dann einfach ein positives Vorzeichen, also das Vorzeichen jener Seite in der man bevorzugt rechnet. Das ist mitunter ein praktischer Nebeneffekt gegen deren Anwendung nichts spricht. Aber es ist eben auch nicht mehr als ein Nebeneffekt einer Methode.

Ein Beispiel dafür wäre dass die aufzuwendende Energie für eine Bewegung
E = m . v ² / 2
vom Vorzeichen der Geschwindigkeit unabhängig ist, sie ist mit dem Vorzeichen der Geschwindigkeit nicht beschreibbar.
(Eine Anmerkung dazu im Anhang 1)

Oder wenn man mit dem Phytagoras zwei Komponenten zusammensetzt
a = ²V(x² + y²)
so können die Vorzeichen von x und y Positiv oder Negativ sein. Das Vorzeichen von (a) ist mit den Vorzeichen der beiden Komponenten nicht beschreibbar. Man erhält dann eben das Vorzeichen jener Seite in der man bevorzugt rechnet. Daran ist auch nichts falsch solange man es als eine Methode begreift und sich nicht einredet dass das mit der Existenz einer (Negativen) Zahlenart etwas zu tun hat.

Multiplikation von Differenzen

Eine weitere Regel ist die Multiplikation von Differenzen.

(a-b)² = a²-2ab+b².

Natürlich ist dies eine Rechenregel, die Rechenregel eben zur Multiplikation von Differenzen. Mehr ist es aber auch schon nicht mehr. Man kann es sich ja auch gut veranschaulichen (Bild 2)
Diese Regel für das Multiplizieren von Differenzen entspricht zwar jenen Regeln die man für Negative Zahlen definiert hat, aber davon entsteht auch nicht eine "Existenz" von Negativen Zahlen.
Es ist eine Rechenregel, nicht mehr und nicht weniger. Dass man diese Regel beliebig anwenden kann und nicht nur für diesen einfachen Fall, ändert daran auch nichts.
Dass diese Regel für beliebig komplizierte Rechenausdrücke funktioniert bedarf übrigens eines Nachweises sofern ein solcher Nachweis nicht existieren sollte. Die Rechenregeln für Negative Zahlen sind jedenfalls kein Nachweis dafür.

Vorzeichenumkehrung

Eine weitere Regel ist dass sich beim Quadrieren bzw. Multiplizieren von negativen Vorzeichen, sich die Vorzeichen auf beiden Seiten einer Gleichung umkehren.

c² = (a - b)²

Wenn der Wert von c negativ ist dreht sich das Vorzeichen um.
Auf der rechten Seite setzt das voraus dass der Betrag von b größer ist als von a. Nachdem das Ergebnis (a-b)² also a²-2ab+b² unabhängig davon ist ob a größer ist oder b, dreht sich auch hier einfach das Vorzeichen um.
Es ist eine praktische Methode, dass sich auf beiden Seiten der Gleichung durch diese Methode eine Vorzeichenänderung ergibt, aber es ist eben auch hier nicht mehr als eine Methode.

Regeln und Methoden

Man könnte die Regeln für beide Vorzeichen (Plus und Minus) natürlich auch vertauschen, das würde genau so funktionieren. Denn sonst müsste dem Minus-Zeichen schon irgend ein Zauber inne wohnen, wovon aber eher nicht auszugehen ist.
Es ist ja nur die Frage welche Richtung man generell verwendet und für welche Richtung man das Vorzeichen gleichzeitig als Negationszeichen verwendet um damit einige weitere Rechenregeln zu beschreiben.

Ja, es ist keine Frage dass sich durch diese Definition "Negativer Zahlen" ein ganze Reihe von Regeln und Methoden zusammenfassen lassen. Aber es sind eben nicht mehr als einzelne Regeln und Methoden.
Dies mit einer Zahlenart zu definieren und damit generell festzulegen dass das Quadrat einer Negativen Zahl immer Positiv sein muss und umgekehrt die Wurzel einer Positiven Zahl sowohl Positiv als auch Negativ sein kann und dass man die Wurzel aus einer Negativen Zahl nicht ziehen darf, ist in dieser generellen Definition ein fester Unsinn.

Es ist auch keineswegs auszuschließen dass in Einzelfällen durch die generelle Anwendung der Definition Negativer Zahlen überhaupt falsche Ergebnisse entstehen oder falsche Schlussfolgerungen gezogen werden.
(Eine Anmerkung dazu in Anhang 2)

Wenn man dann eine sich aus der Definition Negativer Zahlen sich ergebende Merkregel auch noch als Rechnen mit einer "Imaginären Einheit" bzw. als Rechnen mit "Komplexen Zahlen" bezeichnet dann ist man endgültig beim Schwachsinn gelandet.

Lineare Funktionsgleichungen

Als nächstes nun eine ganz einfache lineare Funktionsgleichung.

y = x + d

Und die Lösung für y = 0

x + d = 0
x = -d

Man kann es natürlich genau so gut aus der
entgegengesetzten B-Richtung betrachten:

y = x - d

x - d = 0
x = d

Beides führt zum gleichen Ergebnis nur eben aus der jeweils gegenteiligen Richtung betrachtet.

Dass allerdings in A-Richtung betrachtet -d Sinn macht setzt bereits voraus dass eine Funktion auch in die Gegenrichtung definiert ist, was nicht zwangsläufig sein muss. Denn genau genommen ist immer eine Funktion in die eine Richtung definiert (A) und eine Funktion in die Gegenrichtung (B), es sind eigentlich zwei Funktionen.

Wenn eine Lösung aus der A-Richtung betrachtet Positiv ist, so ist sie eben aus der B-Richtung betrachtet Negativ und umgekehrt wenn eine Lösung aus der A-Richtung betrachtet Positiv ist, so ist sie eben aus B-Richtung betrachtet Negativ.

Man kann es auch genau so gut als eine Funktion in A-Richtung und eine Funktion in B Richtung über X aufgetragen betrachten:

Die A-Richtung ist wieder:

y = x + d
x + d = 0
x = -d

Und die B-Richtung ist dann:

y = -x + d
-x + d = 0
x - d = 0
x = d

Es sind letztendlich immer zwei Funktionen eine in die eine Richtung und eine in die Gegenrichtung aufgetragen, nichts sonst.
Natürlich ist nichts falsch daran wenn man diese beiden Funktionen zusammenfügt und in der üblichen Form betrachtet, ein Bewusstsein dafür was man tut wäre aber nicht ganz verkehrt.

Um es so zu sagen:
Wenn man einen Wert in die eine Richtung aufträgt (A-Richtung) und darüber den Funktionswert aufträgt und einen Wert in die Gegenrichtung (B-Richtung) und den Funktionswert ebenfalls in die Gegenrichtung nach unten aufträgt und beides zusammen als eine Funktion behandelt so ist das eine Methode, nicht mehr und nicht weniger!
Es braucht dafür keine Negativen Zahlen, wohl aber Zahlen die man in die Gegenrichtung aufträgt "Negative Werte" wenn man so will.

Man könnte es übrigens aus Sicht der B-Richtung natürlich auch so schreiben dass in B-Richtung einfach das negative Vorzeichen bleibt. Dann müsste man aber alle Regeln für Positive und Negative Zahlen austauschen, was dann schon mehr als ungewohnt wird. Einfach Addition (+) und Subtraktion (-) in B-Richtung zu verwenden ist da schon viel übersichtlicher.

Als nächstes eine leicht veränderte lineare Funktion.

y = k . x + d

k . x + d = 0
k . x = -d
x = - d / k

Auch wieder aus der B-Richtung betrachtet:

y = k . x - d

k . x - d = 0
k . x = d
x = d / k

Ähnliche Funktion, ähnliches Ergebnis.
Die Funktion aus Sicht beider Richtungen aufgelöst führt zum selben Ergebnis.

Hier besteht allenfalls die Vereinbarung dass ein positives Vorzeichen von k das Plus, das gleichzeitig dem Vorzeichen der A-Richtung entspricht rein als Faktor verwendet wird. Das wird zwar allgemein so verwendet, es müsste aber nicht zwangsläufig so definiert sein.

Oder wenn man es umgekehrt für negative Werte betrachtet dann bedeutet das Minus-Zeichen bei der Variablen x dass der Wert von x in B-Richtung wirkt während ein Minus-Zeichen bei der Konstanten k eine Negation bei der Multiplikation bedeutet.

Man kann wohl kaum irgendwo besser sehen dass das Minus-Zeichen hier zwei unterschiedliche Funktionen hat und wie sinnfrei es daher ist diese unterschiedlichen Bedeutungen mit einer Zahlenart, den Negativen Zahlen, zu definieren.

Vereinfachte kubische Gleichung

Nun eine vereinfachte kubische Gleichung:

y = x³ + d

x³ + d = 0
x³ = -d
x = ³V-d

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = x³ - d

x³ - d = 0
x³ = d
x = ³Vd

Es ist immer das gleiche Schema. Der Wert d wirkt aus der A-Richtung betrachtet zwangsläufig entgegengerichtet und es ergibt sich die entsprechende Funktion daraus, ob es nun die Division durch k ist oder die 3. Wurzel aus diesem entgegengesetzten Wert.

Vereinfachte Quadratische Gleichungen

Das ist bei einer quadratischen Funktion nicht anders. Es führt auch zwangsläufig zu einem völlig analogen Ergebnis.
Natürlich heißt das nicht dass man nun eine quadratische Funktion in der üblichen Form, wie weiter unten dargestellt nicht verwenden kann, aber es ist auch absolut nichts falsch daran eine quadratische Funktion in der folgenden Form zu betrachten. Es gibt jedenfalls keinen rationalen, logischen Grund warum man dies nicht tun sollte, oder warum die folgende Funktion weniger berechtigt sein sollte als die übliche Form der quadratischen Funktion.

y = x² + d

x² + d = 0
x² = -d
x = ²V-d

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = x² - d

x² - d = 0
x² = d
x = ²Vd

Aus der A-Richtung betrachtet ergibt sich eben wieder -d und daraus die Quadratwurzel.
Was du heiliger Herr im Himmel sollte sich denn sonst schon auch ergeben. Es heißt ganz einfach dass d in B-Richtung wirkt und daraus dann eben die Wurzel. Daran ist absolut nichts falsch und es gibt auch keinen Grund warum man diese Wurzel nicht ziehen sollte.
Womit sollte denn bei dieser einfachen Gleichung definiert sein dass man die Vereinbarung getroffen hat dass das Vorzeichen der B-Richtung gleichzeitig als ein Negationszeichen verwendet wird?? Dass man diese Vereinbarung nicht bewusst getroffen hat und einfach nicht verstanden hat was man tut macht die Sache auch nicht besser.

Nachdem dadurch nun in durchaus sinnfreier Weise generell definiert wird dass das Quadrat einer "Negativen Zahl" (B-Richtung) "positiv" (A-Richtung) sei ist es natürlich notwendig diese Wurzel aus einer Negativen Zahl in irgend einer Weise zu kennzeichnen. Etwa indem man vereinbart diese Zahl in eine Klammer zu schreiben und dass das Quadrat dieser Zahl auch wieder negativ ist.

Für d = 4 ergibt sich z.B. für x:

x = ²V-d = ²V-4 = (-2)

und in den Ansatz für y = 0 eingesetzt:

x² + d = 0 = (-2)² + 4 = 0 = -4 + 4 = 0

Auf diese Weise schließt sich der Kreis und es ist auch nichts verkehrt an einer solchen Vorgangsweise.

Man kann es natürlich auch in einer etwas anderen Schreibweise schreiben und das Ergebnis mit einer Kennzahl wie "i" kennzeichnen:
Wenn man dann die Multiplikation so definiert dass das Quadrat dieser Merkzahl wieder eine negative Zahl ergibt

(r1,i1).(r2,i2) = (r1.r2-i1.i2, r1.i2+i1.r2), also (0,2i).(0,2i) = (-4,0i) = -4

so erhält man wieder für x² = -4.

Für d = 4 ergibt sich für x:

x = ²V-d = ²V-4 = 2i

und in den Ansatz für y = 0 eingesetzt:

x² + d = 0 = (0,2i) . (0,2i) + 4 = 0 = (-4,0i) + 4 = 0 = -4 + 4 = 0

Das heißt, man nimmt das Ergebnis aus der Wurzel nicht unmittelbar zur Kenntnis, die Information bleibt aber erhalten und man kann das Ergebnis in gleicher Weise in die Ausgangsgleichung einsetzen. Das macht in diesem Fall zwar nicht viel Sinn, aber es ist prinzipiell auch nicht falsch. An diesem einfachen Beispiel sieht man die Funktion dieser Merkregel sogar besonders gut.
Nur wenn man darin allerdings eine "Imaginäre Einheit" sehen will oder eine Existenz "Komplexer Zahlen" erkannt haben will dann ist es freilich nur noch ein fester Schwachsinn.
Dass diese Vorzeichen-Merkregel aus einem anderen Grund definiert wurde (Lösung kubischer Gleichungen) ändert daran auch nichts.

Ob negative Ergebnisse überhaupt Sinn machen hängt natürlich davon ab in welcher Form die Funktion der Gegenrichtung definiert ist. Dagegen sind positive Werte beider Seiten immer richtig.

Am sinnvollsten ist es daher auf beiden Seiten nur positive Lösungen zu verwenden und negative Ergebnisse überhaupt zu ignorieren.

So, nun eine vereinfachte quadratische Funktion in der üblichen Form:

y = x² + d

x² + d = 0
x² = -d
x = ²V-d

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = -x² - d

-x² - d = 0
-x² = d
x² = -d
x = ²V-d

Zunächst einmal kann bei der bestehenden Definition mit "Negativen Zahlen" x² nur positiv sein. Unter der Voraussetzung dass auch d positiv ist, ist schon der Ansatz

x² + d = 0

ein glatter Unsinn. Denn komischerweise kann die Summe zweier positiver Zahlen nicht null sein. In diesen Fall ist der Ansatz genau der gleiche Unsinn wie der Ansatz

4 + 2 = 0

Die Formel für die Lösung quadratischer Gleichungen beinhaltet also, unter bestimmten Voraussetzungen, einen Ansatz der ein offensichtlicher Unsinn ist. Sollte x = 0 sein dann ändert das daran auch nichts den komischerweise ist auch 0 + 2 = 0 ein Unsinn. Das allein zeigt dass die Formel für das Lösen quadratischer Gleichungen über die Qualität einer Faustformel nicht hinaus kommt.

Löst man

x² + d = 0

trotzdem nach x auf so erhält man wieder

x = ²V-d

Damit kann man nun machen was man mag.
Zunächst ist es einfach die Lösung der Gleichung in der vorherigen obigen Form (Bild 6), dort macht es ja durchaus Sinn.
Hier ist aber auf der B-Seite eine andere Funktion definiert und diese Funktion hat daher offensichtlich überhaupt keine Lösung. Das sieht man an der Kurve aber auch daran dass ja der Ansatz schon ein Unsinn ist. In diesem Fall von einer Lösung in C, also eine Lösung in den "Komplexen Zahlen" zu sprechen ist ganz einfach ein hochgradiger Schwachsinn, nichts sonst.

Dass es hier keine Lösung gibt zeigt sich außerdem auch darin dass sowohl der Ansatz in A-Richtung als auch in B-Richtung nur jeweils auf der gegenüber liegenden Seite eine Lösung ergibt. Es entspricht eben wie in Bild 6 einer "gespiegelten" Funktion. Hier ergibt sich aber für die Betrachtung aus A- und B-Richtung keine Übereinstimmung, was nicht sehr überraschend ist, da bedingt durch die Definition Negativer Zahlen ja schon der Ansatz (x² + d = 0) ein glatter Unsinn ist.

Eine quadratische Funktion diesmal mit Lösung:

y = x² - d

x² - d = 0
x² = d
x = ²Vd

Aus der B-Richtung betrachtet:

y = -x² + d

-x² + d = 0
-x² = -d
x² = d
x = ²Vd

In diesem Fall ergibt sich einfach für beide Seiten A und B eine Lösung.
Hier entspricht das Ergebnis dem plus/minus Vorzeichen der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Gegen die Zusammenfassung zu einer Lösungsformel für diese Form der Funktion spricht ja auch nichts, nur dass sie eben nicht unter allen Umständen anwendbar ist. Daraus auf eine Existenz "Negativer Zahlen" zu schließen ist dann eben nur noch ein fester Unsinn.

An dieser vereinfachten quadratischen Gleichung sieht man es sogar besonders gut.
An sich wird eine quadratische Funktion einmal nach links und einmal nach rechts über eine Achse aufgetragen, was eigentlich zwei Funktionen sind. Man könnte das in beide Richtungen mit
y = x² - d
anschreiben, einmal nach links, einmal nach rechts bzw. einmal in A-Richtung und einmal in B-Richtung.

Die nächste Möglichkeit besteht darin es wie vorher oben zu betrachten dass man beim Funktionswert eben die A-Richtung nach oben aufträgt und die B-Richtung nach unten, man erhält dann auf der B-Seite den Ansatz
y = -x² + d.
Auf beide Arten erhält man für beide Seiten zwangsläufig die gleiche Lösung.

Man kann nun auch die Vereinbarung treffen dass das Vorzeichen der B-Richtung (Minus Zeichen) gleichzeitig als ein Negationszeichen verwendet wird, dann dreht sich der Funktionswert der B-Richtung um. In der grafischen Darstellung kommt das wieder auf das gleiche heraus. Es sind natürlich nach wie vor zwei Funktionen in zwei entgegengesetzte Richtungen.
Man kann dann weiter die beiden Funktionen so quasi zu einer Funktion zusammenfassen und die Lösung beider Seiten mit dem Plus/Minus Zeichen ( + ) angeben. Solange man weiß was man tut ist daran noch nicht unbedingt etwas verkehrt.

Nur wenn man vermeint darin eine "Existenz" Negativer Zahlen zu erkennen so ist das jedenfalls nicht Ausdruck rationalen logischen Denkvermögens, sondern entspringt ganz einfach dem Unverständnis über die tatsächlichen Zusammenhänge.

Quadratische Gleichungen

Eine weitere Form der quadratischen Gleichung ist:

y = x² - kx + d

Hier können sich auf einer Seite zwei Lösungen ergeben. Auch dies lässt sich erklären ohne dass man dazu so etwas wie eine Vorstellung Negativer Zahlen braucht. Zur Veranschaulichung sind rechts die drei Kurven dargestellt aus denen sich diese Funktion zusammen setzt. Zunächst fällt die rote Linie k.x steiler ab, danach nimmt die grüne quadratische Kurve x² stärker zu.

Die beiden Lösungen dieser Gleichung ergeben sich folgendermaßen.

y = x² - kx + d

Diesmal in der üblichen Schreibweise k = p und d = q:

x² - px + q = 0
x² - px = -q

mit dem bekannten Ansatz
(a - b)² = a² - 2ab + b²
und
a² = x²
b = p/2 bzw. b² = (p/2)²
ergibt sich:

x² - 2(p/2)x + (p/2)² = (p/2)²- q
(x - p/2)² = (p/2)²- q
x - p/2 = ²V((p/2)²- q)
x = p/2 + ²V((p/2)²- q)

Das Ergebnis
a² - 2ab + b² kann sowohl von (a - b)² das Quadrat sein aber auch von (b - a)².

(a - b)² = a² - 2ab + b²
(b - a)² = a² - 2ab + b²

Da
a² = x² entspricht und
b² = (p/2)²
führt das im zweiten Fall (b - a)² dementsprechend auch zu einem unterschiedlichen Ergebnis.

x² - 2(p/2)x + (p/2)² = (p/2)²- q
(p/2 - x)² = (p/2)²- q
p/2 - x = ²V((p/2)²- q)
-x = -p/2 + ²V((p/2)²- q)
x = p/2 - ²V((p/2)²- q)
===

Das heißt wenn man es elementar betrachtet kommt man auch zu zwei Lösungen, man braucht dazu keine Regeln für Negative Zahlen.
In etwa in dieser Form sind quadratische Gleichungen ja bis um 1500 herum auch gelöst worden, wenngleich man beide Seiten zusammen als eine Funktion betrachtet hat.

Natürlich spricht nun nichts dagegen die bekannte Zusammenfassung zu einer Lösungsformel für quadratische Gleichungen

x = -p/2 + ²V((p/2)²- q)

anzuwenden, aber es ist ein Unterschied ob man darin eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen sieht oder ob man meint hierin so etwas wie eine Existenz Negativer Zahlen sehen zu müssen.
Wenn man darin eine Lösungsformel sieht ist daran durchaus nichts falsch.
Wenn man dagegen darin das Verhalten Negativer Zahlen sehen will, so ist die Herleitung dieser Lösungsformel noch nicht einmal wirklich mit den Regeln für Negative Zahlen vereinbar:

(x + p/2)² = (p/2)²- q
x + p/2 = + ²V((p/2)² - q)

Warum zum Teufel erscheint das plus/minus in der zweiten Zeile nur auf der rechten Seite und nicht auf der linken Seite auch??
Denn wenn es nach der Definition Negativer Zahlen geht so müsste das + doch auf beiden Seiten der Gleichung erscheinen, denn es wird ja auf beiden Seiten die Wurzel gezogen. Dass auf der linken Seite das Wurzelziehen einfach durch das Weglassen des Quadrats erfolgt ändert daran gar nichts. Man stelle sich nur vor dass auf beiden Seiten der Ausdruck in der ersten Zeile der Zahl 100 entspricht und man diese Zahlen auch einsetzt, dann hat man in beiden Zeilen folgendes stehen:

100 = 100
10 = + 10 !!

Hier wird einfach nach Beliebigkeit eine Vorgangsweise verwendet nur weil sie zur richtigen Lösungsformel führt. Diese Vorgangsweise ist mit der Definition Negativer Zahlen nicht wirklich vereinbar. Natürlich wird dieses +Vorzeichen ständig nach Beliebigkeit verwendet, weil es in Wirklichkeit ja auch keinen Sinn macht, aber eine unterschiedliche Vorgangsweise auf beiden Seiten einer Gleichung anzuwenden hat schon eine sehr eigene Qualität.
Noch unsinniger kann man elementare Mathematik nicht definieren. Dieser offensichtliche Unsinn stört freilich seit 500 Jahren niemanden, aber warum sollte einem ein offensichtlicher Unsinn denn auch stören??

Eine allgemeine Schreibweise sollte eventuell, vielleicht, möglicherweise ja dazu da sein um beliebige Zahlen einsetzen zu können aber nicht dazu dass das Einsetzen von Zahlen einen glatten Unsinn ergibt.

Dass historisch die Lösungsformel für quadratische Gleichungen wohl der hauptsächliche Grund für die spätere Vorstellung von einer Existenz "Negativer Zahlen" war ist daher geradezu skurril.
Dass ein Subtraktionszeichen bei (-q) auch in der Lösungsformel immer zu Vorzeichenumkehrung führt ist auch nicht wirklich überraschend.
Dass das (p/2)² auch in der Lösungsformel vorzeichenunabhängig ist liegt einfach daran dass das (b²) in (a² - 2ab + b²) immer positiv ist. Die Lösungsformel für quadratisch Gleichungen beruht also im Prinzip auch auf der Regel für die Multiplikation von Differenzen.
Es braucht dafür keine Negativen Zahlen um dies erklären zu können.
Wenn der Ausdruck in der Wurzel null ist, so liegt eben der Scheitelpunkt der Parabel auf der X-Achse, ein negativer Wert in der Wurzel bedeutet also keine Lösung.

Zu einem Verständnis dieser grundlegenden Zusammenhänge ist man damals aber nicht gelangt und es ist später, zumindest bisher, auch noch nicht dazu gekommen.

Hier noch die B-Richtung:

Auf der B-Seite könnte man diese Richtung mit
y = -x ² - kx - d
anschreiben.
Oder wenn man es einfach als eine Funktion nach links über x aufgetragen betrachtet:
y = x ² + kx + d
Beides ist gleichwertig und in beiden Fällen sieht man dass alle Anteile der Funktion in die gleiche Richtung wirken. Die B-Seite kann daher nicht null werden, es macht daher auch keinen Sinn diesen Ansatz null zu setzen. Auf der B-Seite existiert daher in diesem Fall kein Nulldurchgang und daher auch keine Lösung.

Lösen von Funktionsgleichungen

Genau genommen wird ja immer eine Funktion in die eine Richtung, die A-Richtung aufgetragen und eine Funktion in die Gegenrichtung, in die B-Richtung. Wenn man jetzt für eine der beiden Seiten (A bzw. B) eine Lösung der Gleichung ansetzt und es kommt ein negatives Ergebnis heraus so kann das der Funktion in der entgegengesetzten Richtung entsprechen, es muss es aber nicht. Das hängt einfach davon ab wie die Funktion in entgegengesetzter Richtung definiert ist.
Es hat also schon von daher keinen Sinn unbedingt beide Richtungen (A und B) mit einer Gleichung lösen zu wollen.

Ergeben sich auf beiden Seiten nur negative Lösungen, so hat diese Gleichung eben keine Lösung.

Weiters wird durch die Definition "Negativer Zahlen" ja definiert dass auf der B Seite bei geradzahligen Potenzen die Richtung umgekehrt wird, bei ungeradzahligen die Richtung aber erhalten bleibt. Wenn man nun diese im Prinzip sehr eigenwillige Definition auch noch gleichzeitig auf beiden Seiten lösen will wird dies zu einem extremen Erschwernis. Natürlich kommt man unter diesen Voraussetzungen geradezu in Teufels Küche.
Setzt man dagegen für beide Richtungen getrennt eine Gleichung an und lässt nur Additionszeichen und Subtraktionzeichen gelten und ignoriert auf beiden Seiten negative Ergebnisse, so wäre es schon eine große Überraschung wenn manche schwer zu lösende Funktionsgleichungen nicht leichter zu lösen sein sollten und manche Funktionsgleichungen möglicherweise dadurch überhaupt erst lösbar werden.

Das Ergebnis der beiden Seiten zu einer Art "Gesamtformel" zusammen zu fassen, wie es bei quadratischen Gleichungen geschieht, das kann man nachher ja noch immer machen.

Erklärt man die Lösungsformel quadratischer Gleichungen mit den Regeln Negativer Zahlen so ist daran überhaupt nichts zu verstehen.
Betrachtet man dagegen beide Seiten getrennt als eine eigene Funktion und verwendet auf beiden Seiten nur Additionszeichen und Subtraktionszeichen so gibt es überhaupt nichts was daran nicht zu verstehen wäre.

Kubische Gleichung

Die Kubische Gleichung wird auf einer eigenen Seite behandelt.

Bei der Kubischen Gleichung wird zunächst das quadratische Element durch Substitution eliminiert.
Die dadurch entstehende reduzierte Gleichung wird mit der so bezeichneten Cardanischen Formel gelöst, wobei diese Formel aber nicht immer zu einem sinnvollen Ergebnis führt.

Bei der Ableitung dieser reduzierten kubischen Gleichung erfolgt eine Nullsetzung zweier Seiten einer Gleichung die aber unter bestimmten Voraussetzungen überhaupt nicht null sein kann!
Das heißt also dass die Cardanische Formel unter bestimmten Voraussetzungen überhaupt nicht zu einem sinnvollen Ergebnis führen kann.

Dass man in diesem Fall mit den sogenannten Komplexen Zahlen eine Lösung erhält sagt dass man damit eine Methode gefunden hat ohne dass man weiß warum es funktioniert. Mehr ist es auch schon nicht.

Wenn man also in diesen Fällen mit rationalen Mitteln eine Lösung bekommen will so muss man dafür einen neuen Ansatz suchen.
Es wäre schon ein Wunder wenn sich nicht ein Ansatz finden ließe mit dem man Kubische Gleichungen auch für diesen Fall ohne diese mystische Vorstellung von Komplexen Zahlen eindeutig lösen kann.

Das heißt freilich nicht dass dieser Ansatz ganz einfach ist, denn sonst stünde dieser Ansatz auch hier.

Gleichungen vierter und höherer Ordnung

Es wäre schon auch sehr überraschend dass, wenn man es elementar angeht, und für beide Seiten eine eigene Gleichung ansetzt und auf beiden Seiten nur Additionszeichen und Subtraktionszeichen verwendet, dass dann nicht auch Gleichungen 4. Ordnung und wohl auch höherer Ordnung nicht eindeutig lösbar sein sollten.
Denn durch die Definition Negativer Zahlen wird letztendlich bei geradzahligen Potenzen auf der negativen Seite das Vorzeichen umgedreht, während es bei ungeradzahligen gleich bleibt. Und dann will man noch die Lösungen beider Seiten nur mit einer Gleichung lösen. Dass dies das Lösen von Funktionsgleichungen dramatisch erschweren muss steht doch außerhalb jeder Frage.

Dieses Erschwernis trifft natürlich auch auf andere Funktionen zu und betrifft mehr oder weniger überhaupt die ganze Mathematik.

Anwendung der Negativen Zahlen

Im Prinzip lassen sich die "Negativen Zahlen" bzw. das Minus Zeichens auf drei grundsätzliche Anwendugen zurück führen.

Die erste Anwendung ist als Richtungszeichen (-X).
Die zweite Anwendung ist als eine Art generelles Negationszeichen (-(+X)) oder z.B. (-k.X).
Aber auch bei (-X)² besteht faktisch die gleiche Bedeutung des (zweiten) Minus Zeichens, woraus sich insbesondere die (bestehende) Definition quadratischer Gleichungen ergibt.
Die dritte Anwendung ist als Subtraktionszeichen (a - b), daraus leitet sich die Multiplikation von Differenzen ab, aber mittelbar auch die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Imaginäre Achse

Eine Anwendung dieser sogenannte "Imaginären Einheit" ist es diese Einheit auf eine Achse aufzutragen.

Nun, natürlich ist nichts verkehrt daran diese sogenannte Imaginäre Zahl auf eine Achse aufzutragen und dies insbesondere für Kreisfunktionen zu verwenden. Nur gibt es keinen Grund gerade diese eigenwillige Merkregel für eine Achse zu verwenden.
Warum zum Teufel sollte man denn nicht für beide Achsen dass definieren was für den betreffenden Anwendungsfall am sinnvollsten erscheint.
Denn wenn man auf einer Achse definieren will dass für diese Achse das Vorzeichen erhalten bleibt ob man diesen Wert nun quadriert oder die Wurzel daraus zieht so kann man das ja ruhig tun. Und wenn man dies für beide Achsen tun will dann spricht auch nichts dagegen.
Man kann es ja auch ruhig als Zahlenpaar schreiben, aber warum zum Teufel sollte man nicht für beide Zahlen einen Zusammenhang definieren können wie man es für den gegenständlichen Fall für sinnvoll hält. Es ist natürlich auch ein fester Unsinn hier von einem Realanteil und Imaginäranteil zu sprechen, man könnte von einem X- und Y-Anteil sprechen oder von einem A- und B-Anteil oder was auch immer.

Jedenfalls gibt es keinen Grund genau jenen eigenwilligen Zusammenhang zwischen zwei Zahlen zu verwenden, der letztendlich nichts mehr ist als eine Merkregel für ein Vorzeichen, die sogenannten Komplexen Zahlen, die sich letztendlich nur aus der durchaus sinnfreien Definition Negativer Zahlen ergeben.
Wenn man etwa für Schwingungen oder für Elektrizität zwei Achsen verwenden will so spricht doch überhaupt nichts dagegen beide Achsen so zu definieren wie es für diese Anwendungen am sinnvollsten ist und einen für diese Anwendung sinnvollen Zusammenhang zwischen diesen beiden Achsen zu definieren. Hier unbedingt eine "Imaginäre Achse" verwenden zu wollen und eine "Reale Achse" ist eher eine der sinnfreiesten Möglichkeiten die man sich ausdenken kann.

Bei realen Zahlen käme auch niemand auf die Idee von geometrischen Eigenschaften dieser Zahlen zu sprechen, nur weil man sie auf eine Achse auftragen kann und damit geometrische Zusammenhänge wie Kreisfunktionen beschreiben kann.
Bei Komplexen Zahlen sind die Zusammenhänge weniger durchschaubar, aber hier von geometrischen Eigenschaften der sogenannten Komplexen Zahlen zu sprechen ist schon ein außergewöhnlicher Unsinn. Mit Zahlen kann man Geometrie berechnen wie physikalische Zusammenhänge auch, aber umgekehrt einer Zahlenart geometrische Eigenschaften zusprechen zu wollen ist jenseits von sinnfrei.

Dass übrigens die Vorstellung von einer Existenz Imaginärer Zahlen bzw. Komplexer Zahlen oder auch von einer Imaginären Achse von sehr bedeutenden Mathematikern stammt, sagt am Ende auch nur dass sonst noch so bedeutende Mathematiker die tatsächlichen Zusammenhänge hier auch nicht verstanden haben können.

Vorzeichenunterschied

Wie absurd die bestehende Zahlendefinition ist kann man am folgenden Beispiel sehen:

²V(-1) . ²V(-1) = (0,1) . (0,1)
²V1 = (-1,0)
1 = -1

Man mag nun sagen, das darf man nicht machen und es sei aus diesem und jenem Grund verboten. Tatsache ist aber dass auf der linken Seite der Gleichung die Regeln die für Reale Zahlen angewandt werden und auf der rechten Seite der Gleichung die Regeln für Komplexe Zahlen. An der Anwendung auf beiden Seiten ist absolut nichts falsch ob man es so als sinnvoll ansehen mag oder auch nicht.
Natürlich kommt dieses groteske Ergebnis nur zustande weil bei den Realen Zahlen in völlig sinnfreier Weise generell definiert wird dass das Quadrat einer Negativen Zahl Positiv sei, während die Komplexen Zahlen für einen spezifischen Fall definiert wurden wo man sich das Vorzeichen eben merken muss.
Es zeigt aber wie saumäßig (Verzeihung) die elementarste Mathematik definiert ist, es geht wirklich nicht noch saumäßiger. Ohne gegen irgend welche Regeln zu verstoßen erhält man in zwei Zeilen auf beiden Seiten einer Gleichung ein unterschiedliches Vorzeichen.

Bei der Relativitätstheorie wird eine imaginäre Achse dazu verwendet um sich eine Gleichung zurecht zu biegen wie man es braucht. Denn hier bedeutet die völlig willkürliche Änderung einer y-Achse von ct zu ict faktisch eine Multiplikation mit der Merkzahl i. Nur dass es hier ohne jeden Grund geschieht und einfach zu einer Vorzeichenänderung verwendet wird.
Es ist das gleiche wie wenn man das Quadrat einer Negativen Zahl dazu verwenden würde um ein unliebsames negatives Vorzeichen weg zu bekommen. Das tut niemand denn hier ist die Unsinnigkeit einer solchen Vorgangsweise dann doch zu offensichtlich.
Bei der Relativitätstheorie kommt es darauf freilich auch nicht mehr an, die Relativitätstheorie ist ohnehin auch aus physikalischen Gründen ein außergewöhnlicher Schwachsinn.

Ein völliger Unsinn ist es natürlich auch wenn man meint aus der sinnfreien Definition Negativer Zahlen auf negative physikalische Größen, wie negative Massen oder negative Energien, schließen zu müssen. Die Vorstellung von Komplexen physikalischen Größen, wie etwa Komplexe Energien, setzt freilich auch hier dem Schwachsinn die Krone auf.

Definition Zahlenart

Zunächst einmal kann man natürlich die Definition der so bezeichneten "Realen Zahlen" nicht grundsätzlich ändern, denn sonst kennt sich, umgangssprachlich ausgedrückt, keine S.. mehr aus.

Im Grunde genommen gibt es zwei Möglichkeiten:
Die eine Möglichkeit ist dass man eine neue Zahlenart von Grund auf neu definiert, was eigentlich die sinnvollere Vorgangsweise ist.
Allerdings ist es auch nicht völlig undenkbar dass man die realen Zahlen ergänzt, was allenfalls auch eine Übergangslösung sein kann.

Die Ergänzung realer Zahlen könnte sehr einfach aussehen, nämlich dass man Bereiche einer Gleichung oder die ganze Gleichung, wo das Vorzeichen erhalten bleiben soll, kennzeichnet, etwa dadurch dass man diese Bereiche z.B. in eine eckige Klammer setzt.
Das heißt dort wo etwa Differenzen multipliziert werden oder eine quadratische Funktion in der bisher (ausschließlich) üblichen Form verwendet wird, bleibt alles so wie es ist. Dort wo dagegen das Vorzeichen erhalten bleiben soll, ob man nun quadriert oder eine Wurzel daraus zieht, könnte man diesen Bereich einer Gleichung oder gegebenenfalls auch die ganze Gleichung z.B. in eine eckige Klammer setzen.
Wie gesagt, eine solche Vorgangsweise wäre eventuell auch als Übergangslösung ganz gut denkbar.

Neue Zahlenart

Es ist aber wohl eher sinnvoll eine neue Zahlenart zu definieren.
Tatsächlich macht es ja keinen Sinn generell zu definieren dass das Quadrat einer Negativen Zahl etwas Positives sei, noch gibt es irgend einen Grund warum man aus einem Negativen Zahl nicht auch die Wurzel ziehen sollte. Und es gibt schon überhaupt keinen Grund warum die Wurzel einer Positiven Zahl sowohl positiv als auch negativ sein sollte. Negative Zahl ist hier im Sinne einer Richtung gemeint, aber nicht im Sinne einer eigenen Zahlenart mit eigenen Rechenregeln. Der Begriff Negativer Wert wäre hier vielleicht eindeutiger.
Eine sinnvolle neue Zahlendefinition würde daher ganz einfach definieren dass das Vorzeichen einer Zahl erhalten bleibt ob man diese Zahl nun quadriert oder die Wurzel daraus zieht. Und dann ist es eben umgekehrt erforderlich es zu kennzeichnen wo eine Vorzeichenumkehrung stattfinden soll, also etwa bei der Multiplikation von Differenzen. Nachdem bisher ja zwischen einem Richtungszeichen und einem Negationszeichen nicht unterschieden wird wäre es wohl am sinnvollsten ein Negationszeichen einzuführen. Allerdings wäre es auch hier nicht undenkbar dass man Bereiche einer Gleichung oder ganze Gleichungen, wo eine Vorzeichenumkehrung stattfindet, z.B. in eine eckige Klammer zu setzen. Dann darf man diese Vorgangsweise freilich nicht als Ergänzung der realen Zahlen verwenden. Sonst käme auch hier ein Durcheinander heraus.
Denkbar wäre auch eine Schreibweise wo man einen solchen Bereich einfach in eine Klammer setzt und z.B. zur Kennzeichnung etwa den Buchstaben n vor die Klammer setzt.

Da eine solche Zahlenart im wesentlichen dem Verhalten von Vektoren entspricht könnte man eine solche Zahlenart eventuell auch als Vektor bezeichnen. Da sich in der Hinsicht nicht gerichtete Größen wie Soll und Haben auch nicht anders verhalten könnte man eine solche Zahlenart eventuell auch als Skalar bezeichnen. Eine Zahlenart Vektor könnte man dann eventuell für die dreidimensionale Anwendung von Vektoren erweitern. Man kann sich aber natürlich auch einen ganz anderen Begriff überlegen der für diese neue Definition von Zahlen geeignet erscheint.

Wie immer man es auch definiert, es muss jedenfalls eindeutig und verwechslungssicher definiert sein, sonst käme wohl ein Chaos zustande. Auch bei heute überall verwendeten Computerprogrammen wäre natürlich eine exakte Definition erforderlich. Man denke nur an sicherheitsrelevante Programme wie etwa die Steuerung eines Flugzeuges. Eindeutige und verwechslungssichere Definitionen sind hier unbedingte Voraussetzung.

Auswirkung der Definition Negativer Zahlen

Die Definition negativer Zahlen wirkt sich in verschiedenen Fällen sehr unterschiedlich aus.

Bei der Multiplikation von Differenzen ist es ganz einfach eine Rechenregel, wenngleich es sinnfrei ist diese Regeln mit einer Zahlenart zu definieren

Beim Quadrieren bzw. Wurzelziehen von gerichteten Größen, aber auch bei anderen negativen Werten wie z.B. von Soll ignoriert man diese Regeln ganz einfach weil sie in diesen Fall einen offensichtlichen Unsinn darstellen. Allenfalls erklärt man einen negativen Wert zum Betrag und zieht dann die Wurzel daraus. Auf diese Weise entsteht auch hier kein Fehler.

Mitunter werden die Negativen Zahlen als Begründung für eine Vorzeichenänderung angesehen, wo einfach das Ergebnis vom Vorzeichen des Ausgangswertes unabhängig ist. Ein Fehler entsteht dadurch nicht.

Es ist freilich keineswegs auszuschließen dass in Einzelfällen durch die generelle Anwendung der Definition Negativer Zahlen überhaupt falsche Ergebnisse entstehen oder falsche Schlussfolgerungen gezogen werden.

Bei quadratischen Gleichungen in der bisher ausschließlich üblichen Form ist es ganz einfach eine Zusammenfassung zu einer Lösungsformel, was historisch ja auch der Grund für die Definition Negativer Zahlen war.
Nur bei quadratischen Gleichungen ohne Lösung ist die Definition von einer Lösung in C ein glatter Schwachsinn.

Bei Funktionsgleichungen höherer Ordnung sind die Negativen Zahlen zumindest eine erhebliche Erschwernis, wenn nicht sogar eine Verhinderung zur Lösung solcher Gleichungen. Beide Seiten einer Funktion mit einer Gleichung lösen zu wollen, wobei bei geradzahligen Potenzen auf einer Seite noch eine Richtungsumkehrung erfolgt, ist zumindest eine erhebliche Erschwernis beim Lösen solcher Funktionen.
Wenn man beide Seiten unabhängig voneinander löst so wäre es schon überraschend wenn nicht auch Funktionen höherer Ordnung als die 4. Ordnung lösbar sein sollten.

Die sogenannte Imaginäre Einheit ist nicht mehr als eine Vorzeichen-Merkzahl die sich aus der sinnfreien Definition Negativer Zahlen ergibt. Die sogenannten Komplexen Zahlen sind nicht mehr als eine Rechenregel für diese Merkzahl.

Die Verwendung einer sogenannten imaginären Achse ist für manche Zusammenhänge anwendbar, einfach deshalb weil bei manchen Zusammenhängen diese Merkregel brauchbar ist.
Man kann aber für eine Achse oder auch für beide Achsen und für den Zusammenhang zwischen beiden Achsen ohnehin jene Funktion definieren die für eine bestimmte Anwendung am geeignetsten erscheint. Es gibt keinen Grund warum man gerade jene Merkzahl, die man imaginäre Einheit zu nennen beliebt, dafür verwenden sollte.
Diese Imaginäre Achse bei Relativitätstheorie zur Vorzeichenänderung zu verwenden ist ein glatter Schwachsinn.

Solange man diese sogenannte Imaginäre Einheit bzw. die sogenannten Komplexen Zahlen als Merkregel verwendet, ist daran nicht unbedingt etwas verkehrt. Sobald man aber daraus auf imaginäre oder komplexe physikalische Größen wie Imaginäre oder Komplexe Energien schließt, dann ist man beim Schwachsinn gelandet.
Allerdings sind auch bereits Vorstellungen von negativen Massen oder negativen Energien bereits ein recht fester Unsinn.

Auch dort wo Mathematik auf eine Vorstellung Komplexer Zahlen aufbaut ist es ein ebenso fester und wie überflüssiger Unsinn.

Schlusssatz

Die Definition Negativer Zahlen ist um 1500 aus einer unbegründeten Schlussfolgerung der Lösungsformel für Quadratische Gleichungen entstanden. Die sogenannte Imaginäre Einheit bzw. die Komplexen Zahlen sind eine Merkregel die sich aus dieser Definition ergibt.
Insgesamt kann man sagen dass sich die Anwendung Negativer Zahlen bzw. der Imaginären Einheit und der Komplexen Zahlen von durchaus brauchbaren Rechenregeln und Rechenmethoden bis hin zu hochgradigen Schwachsinn erstreckt.

Kubische Gleichung

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Robert Markweger

rmw@markweger.at

4. 9. 2019 l. Ä. 26. 11. 2021

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Anhang 1

Hier noch eine Nebenbemerkung zur Richtung von Energie.
Die aufgewendete Energie hat tatsächlich keine Richtung und ist mit dem Vorzeichen der Geschwindigkeit auch nicht beschreibbar. Dagegen hat kinetische Energie, also die Energie eines bewegten Körpers ganz eindeutig eine Richtung und ist daher auch mit einem Vektor beschreibbar. Es ist daher ganz einfach unrichtig Energie grundsätzlich als eine nicht gerichtete Größe anzusehen. Wenn man etwa Wärmeenergie betrachtet, so ist dies auch Bewegung von Teilchen, insofern kann man sich durchaus fragen ob in Wirklichkeit Energie nicht sogar immer eine Richtung zuordnen kann, wenngleich es in diesem Fall Mikrobewegung von Atomen oder Molekülen ist.
Auch der potentiellen Energie der Gravitation kann man ja auch durchaus eine Richtung zuordnen, Gravitation bewirkt schließlich eine Bewegung in eine ganz bestimmte Richtung.

Ein ähnlicher Fall ist der zurück gelegte Weg. Ein Abstand zwischen zwei Orten hat keine Richtung. Aber ein zurück gelegter Weg hat ganz eindeutig eine Richtung. Ob man einen Weg von A nach B zurücklegt oder von B nach A ist nicht das gleiche. Einen zurückgelegten Weg kann man daher eindeutig eine Richtung zuordnen und es ist daher nicht richtig dass man einen zurückgelegten Weg als physikalische Größe ohne Richtung betrachtet.

Umgekehrt verhält es sich bei einem so bezeichneten Ortsvektor. Es ist ganz einfach kein Vektor, wenngleich auf beiden Seiten des Abstandes ein unterschiedlicher Ort ist, einmal das Zentrum eines Kreises und auf der anderen Seite der Umfang des Kreises. Die Angabe einer Richtung ist hier willkürlich.
Natürlich spricht nichts dagegen auf diese Art und Weise ein Moment normal auf die Ebene darzustellen in der das Moment wirkt. Aber der "Ortsvektor" ist kein Vektor und daher existiert auch kein "Vektorielles Produkt".
Es ist nichts verkehrt daran eine solche Methode zur geometrischen Darstellung von Momenten anzuwenden. Aber es existiert hier weder ein Vektor noch etwas das den Begriff eines "Vektoriellen Produkts" rechtfertigt.

Anhang 2

Besonders wundern könnte einem dass der Gravitationsschwerpunkt zweier Körper mit dem Massenschwerpunkt dieser Körper zusammenfällt.
Die Gravitation nimmt schließlich mit dem Kehrwert des Quadrats des Abstandes ab (1/x²).
Dass dieser Abstand mit dem linearen Schwerpunkt zusammenfällt ist jedenfalls erstaunlich.