Zunächst kann man sich die Frage stellen was eigentlich eine Positive Zahl darstellt.
Nun, zwei Äpfel und zwei Äpfel sind vier Äpfel und zwei
kW Leistung und zwei kW Leistung sind vier kW Leistung. Man kann also
weglassen worum es sich handelt, das ist dann eine Positive Zahl. Eine
Positive Zahl ist sozusagen wieviel von irgend etwas ohne dass man angibt worum es sich handelt.
Was stellt eine Negative Zahl dar?
Zwei Sessel und zwei Sessel sind wieder vier Sessel. Vier Sessel weniger zwei
Sessel sind zwei Sessel. Zwei Sessel weniger zwei Sessel sind null
Sessel.
Null Sessel weniger zwei Sessel? Das geht überhaupt nicht.
Es geht
mit gerichteten Größen wie Kräften. Für gerichtete
Größen gelten aber die Regeln für Negative Zahlen nicht.
Das ist ganz einfach ein Widerspruch!
Einerseits ist es nicht möglich Objekte mit einer Negativen Zahl
darzustellen und für gerichtete Größen, wo dies möglich ist, gelten die Regeln
für Negative Zahlen nicht.
Man
könnte nun noch sagen dass man z. B. bei einem Bankkonto die
Schulden als Negativ bezeichnen kann. Aber auch da würde es keinen Sinn
machen dass das Quadrat der Schulden Positiv ist, also ein Guthaben ist.
Auch dafür sind die Regeln für Negative Zahlen nicht anwendbar.
Wenn man nun aber mit Negativen Zahlen rechnen kann, so lässt das nur eine Möglichkeit offen, nämlich dass
mit den Negativen Zahlen zwar Regeln und Methoden definiert werden mit
denen man rechnen kann, dass aber die Definition mit einer Zahlenart in der
bestehenden Form unzutreffend ist.
Welche Regeln und Methoden sind das nun konkret die mit den Negativen Zahlen definiert werden?
Wenn
man eine Zahlengerade betrachtet unterscheiden sich Links und Rechts
nicht, genau so wenig wie sich Kräfte unterscheiden die man nach
Links oder Rechts aufträgt, oder genau
so wenig wie sich Guthaben und Schulden voneinander unterscheiden. Man kann in beide Richtungen gleich addieren oder auch subtrahieren.
Die beiden Seiten unterscheiden sich nicht voneinander, welche der
beiden Seiten man als Positiv oder Negativ ansehen will ist im Grunde
genommen willkürlich.
Wenn man nun definiert:
- (-) = +
also dass Minus von Minus Plus ist, dann entsteht erst ein Unterschied.
Ein zweites
Minus-Zeichen wird damit als Negationszeichen definiert während das
erste Minus-Zeichen ein Richtungszeichen darstellt. Das Minus-Zeichen
hat damit zwei unterschiedliche Funktionen, was eine
durchaus willkürliche
Vereinbarung darstellt.
Wenn man dies nun als eine Vereinbarung definiert und dementsprechend
anwendet so ist daran noch nichts verkehrt. Wenn man es aber so
darstellt als ob diese Vorgangsweise eine Art Naturgesetz wäre, so
ist das unzutreffend.
Wenn man für beide Richtungen (Bild 1) Buchstaben verwendet wird noch deutlicher wie willkürlich diese Definition ist:
B (B) = A
Wie gesagt, wenn man es bewusst als eine Vereinbarung definiert
und entsprechend anwendet, so ist daran noch nichts verkehrt, so etwas wie ein Naturgesetz ist das aber nicht. Wenn man also sagt, dass man eine Seite bevorzugt verwendet und diese als Positiv bezeichnet, die
andere Seite nur dann verwendet wenn auch in die Gegenrichtung
etwas aufgetragen werden kann und diese Seite als Negativ bezeichnet, und darüber hinaus dass Vorzeichen
dieser Gegenrichtung als ein Negationszeichen verwendet wird wenn es
als ein zweites Zeichen auftritt, so ist damit diese Vorgangsweise eindeutig und klar definiert.
Das heißt das Minuszeichen
hat zwei grundsätzlich unterschiedliche Anwendungen, einmal als
ein Richtungszeichen in Negativer Richtung und einmal als ein Negationszeichen, letzteres dann
wenn es als ein zweites Zeichen auftritt.
Wenn es dagegen so dargestellt wird als ob sich das zwangsläufig
ergäbe, also als eine Art Naturgesetz, so ist das unzutreffend
dargestellt.
Multiplikation Negativer Zahlen
Analog verhält es sich auch mit der Multiplikation von Negativen
Zahlen. Man kann ganz bestimmte Rechenregeln definieren, es gibt aber
nichts was es sinnvoll erscheinen ließe dies mit einer Zahlenart
zu definieren.
Auch hier ist es willkürlich wenn man definiert dass
(-) . (-) = (+)
also dass Minus mal Minus Plus sei.
Auch hier sieht man sieht man es noch deutlicher wie willkürlich das ist wenn man es wieder in der Form
B . B = A
schreibt.
Das heißt natürlich nicht dass man die Regeln und Methoden die sich daraus ergeben nicht anwenden kann.
Minuszeichen als Negationszeichen
Wenn man eine Kraft mit einer Kreisfunktion multipliziert
F2 = F1 . cos a
und (F1) oder (cos a) oder beide sind negativ so ist daran nichts falsch
die Regeln anzuwenden, es sind aber eben nur willkürlich
definierte Regeln.
Es setzt voraus dass man das Vorzeichen des (cos) ins Verhältnis zum Vorzeichen der Kraft setzt.
Daran ist nichts verkehrt, aber man müsste es nicht zwangsläufig so definieren.
Es zeigt außerdem dass man die Aussage, dass die Negativen Zahlen
für gerichtete Größen nicht gelten, jedenfalls in der
generellen Form nicht zutreffend ist.
Multiplikation von Differenzen
Eine weitere Regel ist die Multiplikation von Differenzen.
Sicher kann man schreiben
(a - b) (a - b) = a² - 2ab + b²
Aber es ist eben eine Regel zur Multiplikation von Differenzen, nicht mehr und nicht weniger.
Mit einer Vorstellung von einer Existenz von Negativen Zahlen hat das nichts zu tun.
Gleichungsregel
Wenn man die Gleichung hat
c² = (a - b)²
und (a - b) ist in Summe Negativ also z. B.
(-2)² = (2 - 4)²
so dreht sich eben das Vorzeichen, auf beiden Seiten um.
Das könnte man als eine Art Gleichungsregel bezeichnen.
Wenn das Vorzeichen in Summe auf beiden Seiten Negativ ist, so hat das keine Auswirkung, ist aber nur eine Seite Negativ
2² = (-2)²
so führt das bereits zu einem Widerspruch, denn wenn man das
einzig naheliegende macht und die Wurzel daraus zieht so erhält man
ein sinnfreies Ergebnis.
2 = -2
Bildet man dagegen das Quadrat so erhält man
4 = 4
Daran sieht man bereits dass es
keinen Sinn macht generell zu definieren dass
das Quadrat einer Negativen Zahl Positiv ist, es kann bereits
bei ganz grundsätzlichen Dingen zu einem Widerspruch führen.
Man könnte es dagegen als eine Negationszeichenregel definieren, eine
Regel die eben nicht generell anwendbar ist
Ähnlich verhält es sich wenn man schreibt
(x + 1)² = (x + 3)²
Wenn man hier das einzig naheliegende macht und die Wurzel daraus zieht so erhält man ein sinnloses Ergebnis.
Multipliziert man dagegen beide Seiten aus und löst es nach x auf, so erhält man
x = -2
(-2 + 1)² = (-2 + 3)²
(-1)² = 1²
Das ganze funktioniert zwar im Kreis herum, wenn man aber auf beiden Seien die Wurzel zieht
so kommt man zu einem anderen Ergebnis.
Gerichtete Größen
Man kann nicht generell sagen dass die Regeln für Negative Zahlen für gerichtete Größen nicht gelten.
Wenn man, wie vorher, eine Kraft mit einer Winkelfunktion multipliziert
F2 = F1 . cos a
so sind diese Regeln durchaus anwendbar.
Oder wenn man die Differenz zweier Kräfte mit der Differenz zweier Abstände multipliziert
M = (F1 - F2) (a - b)
so sind diese Regeln ohne weiteres anwendbar.
Wenn man dagegen Energie berechnet mit
E = 0,5 . m . v²
so entspricht die Kinetische Energie dem Vorzeichen der
Geschwindigkeit. Diese Information geht hier verloren, man merkt sich das Vorzeichen eben ganz einfach.
Wenn es sich um
Energie handelt die verbraucht wird, also z. B. Wärmeenergie so
ist sie mit dem Vorzeichen der Geschwindigkeit überhaupt nicht
beschreibbar.
Je nach Anwendung kann die Energie also dem Vorzeichen entsprechen oder
mit dem Vorzeichen überhaupt nicht beschreibbar sein.
Wenn man die Geschwindigkeit aus Beschleunigung und Weg berechnet
v = ²V(2.a.s)
so entspricht die Richtung der Geschwindigkeit der Beschleunigung unter der Wurzel.
Man erklärt dann den Wert unter der Wurzel zum Betrag und zieht
dann die Wurzel daraus. Die Richtung der Geschwindigkeit merkt man sich
eben einfach.
Diese Vorgangsweise hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Rechnen
mit Komplexen Zahlen, nur dass es dort mit einer Zahlenart
definiert ist.
Umgekehrt kann man die Regeln für die Negativen Zahlen auch
für Nicht gerichtete Größen nicht beliebig anwenden.
Aus meinen Schulden auf der Bank wird kein Guthaben wenn man das
Quadrat davon bildet. Und man kann ohne weiteres die Wurzel aus diesen
Schulden ziehen, das Vorzeichen bleibt dann eben erhalten.
Die Definition dass das Quadrat einer Negativen Zahl eine Positive Zahl
ist macht für sich genommen eben keinen Sinn, es macht nur Sinn
als ein Teil von Rechenregeln und Rechenmethoden wie insbesondere die
Multiplikation von Differenzen.
Eine korrekte Definition müsste heißen dass man das
Vorzeichen gleichzeitig als ein Negatioszeichen verwendet, was eben
nicht immer anwendbar ist.
Einsetzen Negativer Zahlen
Wenn man eine Negative Zahl in eine Gleichung einsetzt
a + b = c
und (b) ist eine Negative Zahl also z .B. (-5) so wird ja auch hier das
Minus Zeichen eigentlich als ein Negationszeichen verwendet.
Ob diese Vorgangsweise auch bei Ableitungen von Gleichungen immer
und überall beliebig funktioniert ist wieder eine ganz andere
Frage.
Ganz generell das Quadrat einer Negativen Zahl als Positiv zu
betrachten, oder richtiger gesagt, das Minus-Zeichen generell als ein
Negationszeichen zu betrachten wenn es als zweites Zeichen auftritt,
muss ja nicht beliebig funktionieren.
Auch wenn man schreibt
-x = 4
so fungiert auch hier das Minus-Zeichen als Negationszeichen für die Zahl (4).
Auch das müsste man nicht zwangsläufig so definieren, wenngleich es eine durchaus praktische Vorgangsweise ist.
Lösungsformel für Quadratische Gleichungen
Bei quadratischen Gleichungen lassen sich die beiden Lösungen
dieser Gleichung mit dem Plus/Minus vor dem Wurzel zu einer
Lösungsformel zusammenfügen. Um mehr handelt es sich dabei
nicht. Das hat später zu einer Vorstellung bzw. Definition von
Negativen Zahlen geführt. Es handelt sich dabei aber ganz einfach
um eine Lösungsformel, um nicht mehr und nicht weniger.
Die Vorstellung von einer Existenz Negativer Zahlen beruht also nur auf
einer Lösungsformel für Quadratische Gleichungen, nicht aber
auf einer rationalen, logischen Überlegung.
Das Vorzeichen für die Negative Seite wird gleichzeitig als ein
Negationszeichen verwendet. Damit ergibt sich ein weitreichend
funktionierendes System von Regeln und Methoden.
Diese Rechenmethode aber mit einer Zahlenart, den Negativen Zahlen, zu
definieren ist gänzlich unbegründet. Durch die Definition
Negativer Zahlen werden zunächst Rechenregeln ganz generell
definiert um sie dann bei verschiedenen Gelegenheiten wo sie nicht
funktionieren wieder für ungültig zu erklären.
Das ist keine sinnvolle Vorgangsweise.
Viel richtiger ist es diese Vorgangsweise als eine Vereinbarung zu
definieren die man eben nur dann anwendet wo es auch Sinn macht sie
anzuwenden.
