Robert Markweger
   




Kubische Gleichungen

Nachdem, wie hier beschrieben, es keinen Sinn macht Negative Zahlen zu definieren, es ist schließlich nur eine Zusammenfassung von Regeln und Methoden, und es auch keinen Sinn macht beide Richtungen einer Funktion (Positiv und Negativ) mit einer Gleichung zu behandeln, es sind schließlich immer zwei Funktionen in entgegengesetzter Richtung, wird hier die kubische Funktion unter diesem Aspekt betrachtet.

Als Quelle für die Ableitung der Kubischen Gleichung werden die folgenden beiden Seiten
verwendet:
Gleichung 3 Grades und Cardanische Formel



Kubische Gleichung


Wenn man eine kubische Gleichung in der Form
y = x³ + ex² + fx + g
betrachtet und y = 0 setzt:
(Schreibweise e, f, g um Verwechslung zu vermeiden)

x³ + ex² + fx + g = 0

und dies mit der 3. Potenz von (a + b) vergleicht
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
so sieht man gleich dass die Lösung hier nicht so einfach ist nachdem das (b) in (3a²b) und (3ab²)
für (e) und (f) in einem quadratischen Verhältnis, also in einem ganz bestimmten Verhältnis zueinander, vorhanden ist.
Die 3. Potenz von
(a + b + c) führt zu einen etwas längeren Ausdruck
(a + b +c)³ = a³ + a² (3b + 3c) + a (3b² + 3c² + 6bc) + 3b²c + 3bc² + b³ + c³
Auch hier sind die beiden Ausdrücke für (e) und (f)
(3b + 3c) = 3(b +c)
und
(3b² + 3c² + 6bc) = 3(b² + 2bc + c²) = 3(b + c)²
in einem quadratischen Verhältnis zueinander vorhanden, was auch hier nicht auf eine einfache Lösungsmöglichkeit hinweist.






Bild 10



Cardanische Formel


Die so bezeichnete "Cardanische Formel" zur Lösung von Gleichungen 3. Grades ist bereits nur mehr sehr bedingt anwendbar, ja diese Formel kann sogar überhaupt zu falschen Lösungen führen. Das ist auch nicht so verwunderlich wenn man bedenkt dass die Negativen Zahlen ja aufgrund der Lösungsformel für quadratische Gleichungen definiert wurden ohne dass es für diese generelle Definition als eine Zahlenart tatsächlich eine rationale Begründung gibt. Die Anwendung Negativer Zahlen in einer Ableitung muss daher keineswegs generell funktionieren.

Substitution
Zunächst wird bei der kubischen Gleichung das quadratische Element durch Substitution

x = z - e/3

heraus gerechnet und man erhält damit eine Gleichung in reduzierter Form.
(auch hier z als verwechslungssichere Schreibweise)

x³ + ex² + fx + g = 0

mit
x = z - e/3


und

(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² + b³

ergibt sich:


x³     + ex²      + fx      + g  =  0
(z-e/3)³    + e(z-e/3)²     + f(z-e/3)     + g  =  0
z³ - 3z²e/3 + 3z
e²/9 - e³/27      + ez² - e2ze/3 + ee²/9      + fz - fe/3     + g   =   0
z³ - z²e + ze²/3 - e³/27      + z²e - 2ze²/3 + e³/9      + fz - fe/3      + g    =   0
z³      + z(e²/3 - 2e²/3 + f)      - e³/27 + e³/9 - fe/3 + g   =   0
z³      + z(f - e²/3)      + 2e³/27 - fe/3 + g   =   0


Das quadratische Element fällt also heraus und mit

p =
(f - e²/3)     und
q =
2e³/27 - fe/3 + g

ergibt sich eine kubische Gleichung in reduzierter Form:

z³ + pz + q = 0

Um auf der Positiven Seite eine Lösung zu erhalten muss zwar zumindest ein Vorzeichen Negativ sein, was sich aber auf die Substitution des quadratischen Elements nicht auswirkt.


Für den Fall dass (ex²) negativ ist ergibt sich:

x³ - ex² + fx + g = 0

x = z + e/3


x³     - ex²      + fx      + g = 0
(z+e/3)³    - e(z+e/3)²     + f(z+e/3)     + g  = 0
z³ + 3z²e/3 + 3z
e²/9 + e³/27      - ez² - e2ze/3 - ee²/9      + fz + fe/3     + g   =   0
z³ + z²e + ze²/3 + e³/27      - z²e - 2ze²/3 - e³/9      + fz + fe/3      + g    =   0
z³      + z(e²/3 - 2e²/3 + f)      + e³/27 - e³/9 + fe/3 + g   =   0
z³      + z(f - e²/3)      + 2e³/27 + fe/3 + g   =   0

p = (f - e²/3)
q =
2e³/27 + fe/3 + g

Das quadratische Element fällt also auch hier heraus.

Man könnte übrigens auch sagen dass man hier statt
(x = z - e/3) den Ausdruck (x = z + e/3) verwenden muss was aber den in diesem Fall den Regeln für Negative Zahlen entspricht.


Negative Seite:

Wenn man die Negative Seite der Gleichung

x³ + ex² + fx + g = 0

behandeln will, so kann man für die Negative Seite schreiben:

x³ - ex² + fx - g = 0

Dies entspricht der Ableitung für ein Negatives (ex²) der Positiven Seite.


Bzw. bei der Gleichung

x³ - ex² + fx + g = 0

kann man für die Negative Seite schreiben:

x³ + ex² + fx - g = 0

Auf diese Art kann man sicher stellen auch die Negative Seite eindeutig und richtig zu behandeln.
Es gibt schließlich keinen zwangsläufigen Grund dass die Regeln für Negative Zahlen beliebig funktionieren müssen.




Reduzierte kubische Gleichung

Eine Gleichung mit nur positiven Vorzeichen

z³ + pz + q = 0


kann allerdings auf der positiven Seite keine Lösung haben.


Wenn man nun auf der positiven Seite eine Lösung haben will so kann man daher schreiben:


z³ - pz + q = 0


(Bild 11)


Auf diese Weise entspricht das Vorzeichen in der folgenden Ableitung immer dem tatsächlichen Vorzeichen.
Man sieht daher ob das nachherige Einsetzen negativer Werte hier auch tatsächlich funktioniert. (Man könnte auch in der Ableitung einfach tatsächliche Zahlen einsetzen.)






Bild 11



z³ - pz + q = 0

z³  =  pz - q


Einsetzen von (u + v) für (z)

z = u + v

(u + v)³ =  pz - q

u³ + v³ + 3u²v + 3uv² = pz - q
u³ + v³ + 3uv(u + v) = pz - q
u³ + v³ + 3uvz = pz - q
u³ + v³ + q = pz - 3uvz

Unter der Voraussetzung dass das beide Seiten der Gleichung null sind, also

u³ + v³ + q = 0 = pz - 3uvz

fällt auf der rechten Seite (z) heraus und man erhält:

pz - 3uvz = 0
p - 3uv = 0/z
p - 3uv = 0

Als zweite Gleichung ergibt sich aus der linken Seite:

u³ + v³ + q = 0

Unter der Voraussetzung dass (z) Positiv ist
(z = u + v) muss also zumindest die Summe aus (u + v) und daher auch (u³ + v³) positiv sein und es ist daher

u³ + v³ + q = 0

überhaupt nicht möglich. Die Summe zweier positiver Zahlen (u³ + v³) und (q) kann nicht null sein. Und hier entsprechen die Vorzeichen schließlich den tatsächlichen Vorzeichen.


Das heißt für den Fall

z³ - pz + q = 0

ist 


u³ + v³
+ q = 0

bei positiven (z) überhaupt nicht möglich und daher ist auch

pz - 3uvz = 0


nicht möglich. Es kann daher auch (z) nicht heraus fallen.

Der Ansatz der Cardanischen Formel ist also unter dieser Bedingung von Anfang an sinnlos.

Eine Ableitung ohne Berücksichtigung der Vorzeichen und erst nachherigens Einsetzen am Ende der Ableitung funktioniert hier jedenfalls nicht mehr!

Bei

pz - 3uvz = 0

geht übrigens nicht aus den Vorzeichen hervor dass dieser Ausdruck hier nicht null sein kann. Das heißt dass ein Ausdruck nicht null sein kann muss nicht unbedingt erkennbar sein. Um etwas Null zu setzen muss man definitv wissen dass dieser Ausdruck auch null sein kann, was hier nicht der Fall ist. Man sieht erst am Ende der Ableitung, erst dann wenn man Zahlen einsetzt, ob ein sinnvolles Ergebnis heraus kommt oder auch nicht.
Die Nullsetzung ist hier daher auf jeden Fall spekulativ, selbst wenn es mit anderen Vorzeichen zu einem richtigen Ergebnis führt.
Diese Vorgangsweise ist daher Spekulation und nicht Mathematik!

Eine Gleichung Null zu setzen erfordert schließlich den Nachweis dass diese Gleichung auch Null sein kann, hier besteht aber sogar umgekehrt die Tatsache dass diese Gleichung mit bestimmten Vorzeichen überhaupt nicht Null sein kann.

Die "Erklärung" dieser Nullsetzung mit einem Koeffizientenvergleich ist keine Erklärung bzw. diese Erklärung ist ganz offensichtlich falsch.


Man kann es nun ja mit dem Einsetzen von (u - v) für (z) versuchen:

z = u - v

z³  =  pz - q


(u - v)³ =  pz - q

u³ - v³ - 3u²v + 3uv² = pz - q
u³ - v³ - 3uv(u - v) = pz - q
u³ - v³ - 3uvz = pz - q
u³ - v³ + q = pz + 3uvz

Unter der Voraussetzung dass beide Seiten der Gleichung null sind

u³ - v³ + q = 0 = pz + 3uvz

erhält man

pz + 3uvz = 0
p + 3uv = 0/z
p + 3uv = 0

und

u³ - v³ + q = 0

Nun, wenn (z) positiv sein soll, so muss (u - v) auch positiv sein und (q) ist auch positiv.
Es kommt also wieder auf das gleiche heraus. Die Summe dieser Werte ist eine positive Zahl und kann daher überhaupt nicht null sein.

Weiters ist

p + 3uv = 0

nicht möglich da hier ja die tatsächlichen Vorzeichen verwendet werden und daher auch hier die Summe zweier Positiver Zahlen nicht null sein kann.

Es macht daher unter dieser Voraussetzung
(z³ - pz + q = 0) bereits der Ansatz zur Cardanischen Formel keinen Sinn und es ist daher von vornherein nicht zu erwarten dass die Cardanische Formel in diesen Fall zu einem richtigen Ergebnis führt.

Mit den sogenannten Komplexen Zahlen hat man zwar eine Vorgangsweise gefunden mit der man zu einer Lösung kommt ohne dass man aber irgend ein Verständnis dafür hat warum es funktioniert.
Man hat auf empirischen Wege eine Methode gefunden, aber auch nicht mehr.

Es wäre aber schon ein Wunder wenn sich nicht ein Ansatz finden ließe mit dem man auch ohne diese mehr oder weniger mystische Vorstellung von "Komplexen Zahlen" zu einem Ergebnis kommen kann.

Das heißt nicht dass dieser Ansatz ganz einfach ist, denn wäre das der Fall so stünde dieser Ansatz auch hier.



Die Negative Seite dieser Gleichung entspricht übrigens dem Ansatz

z³ - pz - q = 0




Ein weiterer interessanter Fall ist nun wenn (pz) und (q) Negativ sind:


z³ - pz - q = 0


(Bild 12)





Bild 12



z³ - pz - q = 0

z³  =  pz + q

Einsetzen von (u + v) für (z)

z = u + v

(u + v)³ =  pz + q

u³ + v³ + 3u²v + 3uv² = pz + q
u³ + v³ + 3uv(u + v) = pz + q
u³ + v³ + 3uvz = pz + q
u³ + v³ - q = pz - 3uvz

Unter der Voraussetzung dass beide Seiten der Gleichung null sind

u³ + v³ - q = 0 = pz - 3uvz

ergibt sich

pz - 3uvz = 0
p - 3uv = 0/z
p - 3uv = 0

und

u³ + v³ - q = 0


Man hat dann die beiden Gleichungen:

u³ + v³ = q
p = 3uv

An den Vorzeichen ist hier nicht zu erkennen dass etwas verkehrt wäre, was freilich noch nicht ein Nachweis dafür ist dass diese Nullsetzung auch tatsächlich berechtigt ist.

Es wird aber auch gleich ganz interessant wenn man Zahlen einsetzt:

u = 2          v = 2

u³ + v³ = q

8 + 8 = 16           q = 16

3uv = p
3 . 2 . 2 = 12       p = 12


u = 2,5       v = 0,721

u³ + v³ = q
15,625 + 0,375 = 16       q = 16

3uv = p
3 . 2,5 . 0,721 = 5,4         p = 5,4


Das heißt also wenn
u = v
ist, so ergibt sich das größtmögliche (p), bei einem ganz bestimmten (q).
Bei einem größeren (p) ist auch hier der Ansatz der Cardanischen Formel sinnlos.
Oder umgekehrt bei einem bestimmten (p) ist der Ansatz bei einem kleineren (q) sinnfrei.

Der Grenzwert ist also mit
u = v

q = u³ + v³
q = 2u³    
u = ³V(q/2)

p = 3uv
p = 3u²
u = ²V(p/3)

für p
p = 3(
³V(q/2))²

bzw. für q
q = 2(
²V(p/3))³

Der Ansatz der Cardanischen Formel ist mit den Vorzeichen
z³ - pz - q = 0
also nur bis zu einem bestimmten Verhältnis von p und q anwendbar!

Wenn dieser Grenzwert überschritten wird ist also auch hier der Ansatz zur Cardanischen Formel sinnlos.

Auch hier hat man mit den sogenannten Komplexen Zahlen eine Methode gefunden, eine Methode freilich wo man nicht weiß warum sie funktioniert.

Wenn man es mit

z = u - v
betrachtet:

(u - v)³ =  pz + q

u³ - v³ - 3u²v + 3uv² = pz + q
u³ - v³ - 3uv(u - v) = pz + q
u³ - v³ - 3uvz = pz + q
u³ - v³ - q = pz + 3uvz

u³ - v³ - q = 0 = pz + 3uvz

Mit (z = u - v) sind also wieder beide Werte auf der rechten Seite (pz + 3uvz = 0) positiv und können daher in Summe nicht null sein. Mit dem Ansatz (u - v) funktioniert es also auch hier überhaupt nicht.


Unter der Voraussetzung dass (p) eine bestimmtes Verhältnis zu (q) nicht überschreitet
kann man also mit dem bestehenden Ansatz

z = u + v

fortfahren.

u³ + v³ = q                        

u^6 + 2u³v³ + v^6 = q²        Quadrieren

uv = p/3
u³v³ = p³/27               kubisch
4u³v³ = 4p³/27            mal 4

u^6 + 2u³v³ + v^6 = q²
4u³v³ = 4p³/27                      Subtraktion

u^6 - 2u³v³ + v^6 = q² - 4p³/27

(u³ - v³)² = q² - 4p³/27
u³ - v³ = ²V(q² - 4p³/27)

Hier wird nun in der üblichen Ableitung Plus/Minus vor der Wurzel auf der rechten Seite gesetzt.
Das ist hier aber völlig unbegründet. Bei der Quadratischen Gleichung ergibt es sich daraus dass dort ja tatsächlich zwei Lösungen möglich sind, (a² - 2ab + b²) ergibt sich aus (a - b)² aber eben auch aus (b - a)²
Hier gibt es dagegen keinerlei diesbezügliche Begründung, dass Plus/Minus Vorzeichen vor der Wurzel ist hier daher unbegründet und sinnlos.

u³ - v³ = ²V(q² - 4p³/27)
u³ + v³ = q                                    Addition

2u³ = q + ²V(q² - 4p³/27)

u³ = q/2 + (²V(
q² - 4p³/27))/2    = q/2 + ²V(q²/4 - p³/27)

u = ³V(q/2 + ²V(
q²/4 - p³/27))


u³ - v³ = ²V(q² - 4p³/27)
u³ + v³ = q                                    Subtraktion

-2v³ = - q + ²V(
q² - 4p³/27)
2v³ = q - ²V(q² - 4p³/27)

v³ = q/2 - (²V(q² - 4p³/27))/2   = q/2 - ²V(q²/4 - p³/27)

v = ³V(q/2 - ²V(
q²/4 - p³/27))

z = u + v


z = ³V(q/2 + ²V(q²/4 - p³/27)) + ³V(q/2 - ²V(q²/4 - p³/27))


Da hier in der Ableitung bereits die Vorzeichen für (p) und (q) berücksichtigt wurden entspricht dieses Ergebnis der bestehenden Ableitung der Cardanischen Formel. Es ist hier eben der Betrag von (p) und (q) einzusetzen.

Bei der bestehenden Ableitung werden allerdings völlig unbegründet für (u) und (v) verschiedene Vorzeichen verwendet. Wenn denn Plus/Minus vor der Wurzel tatsächlich immer einen Wert ergäbe, wie das bei der quadratischen Gleichung ja tatsächlich der Fall ist, so müsste ja für beide Werte Plus und Minus gelten und man hätte für (z) dann zumindest drei Werte (+u +v, -u -v, +u -v). Dagegen sucht man sich hier für (u) und (v) jeweils einen Wert aus, den man vermeint hier gerade gebrauchen zu können. Bei der quadratischen Gleichung haben zwar auch nicht immer beide Werte eine Bedeutung, die mathematische Funktion hat aber in der Form in der sie definiert ist immer zwei Ergebnisse.
Hier wird dagegen eine völlig willkürliche Interpretation verwendet die durch nichts begründet ist, wenn auch dadurch kein Fehler entsteht.
Diese Plus/Minus Interpretation macht keinen Sinn und ist hier auch nicht notwendig, Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen führen bei Berücksichtigung der Vorzeichen auch so zum richtigen Ergebnis.


Die Negative Seite entspricht in diesem Fall dem Ansatz

z³ - pz + q = 0




Nun noch der einfachere Fall dass nur (q) negativ ist


z³ + pz - q = 0
 

(Bild 13)





Bild 13



z³ + pz - q = 0

z³  = - pz + q

Einsetzen von (u + v) für (z)

z = u + v

(u + v)³ = - pz + q

u³ + v³ + 3u²v + 3uv² = - pz + q
u³ + v³ + 3uv(u + v) = - pz + q
u³ + v³ + 3uvz = - pz + q
u³ + v³ - q = - pz - 3uvz

Unter der Voraussetzung dass beide Seiten null sind

u³ + v³ - q = 0 = - pz - 3uvz

erhält man die beiden Gleichungen


u³ + v³ - q = 0
u³ + v³ = q

und

pz + 3uvz = 0
p + 3uv = 0/z
p + 3uv = 0

Der Ausdruck

p + 3uv = 0

kann allerdings auch hier nicht null sein, es sei denn (u) oder (v) sind negativ.


Man kann es daher mit dem Ausdruck

z = u - v

versuchen (um auch hier mit tatsächlichen Vorzeichen sicher zu stellen dass es auch tatsächlich funktioniert).

(u - v)³ = - pz + q

u³ - v³ - 3u²v + 3uv² = - pz + q
u³ - v³ - 3uv(u - v) = - pz + q
u³ - v³ - 3uvz = - pz + q
u³ - v³ - q = 3uvz - pz

Unter der Voraussetzung dass beide Seiten null sind

u³ - v³ - q = 0 = 3uvz - pz

ergibt sich wieder

3uvz - pz = 0
3uv - p = 0/z
3uv - p = 0
3uv = p

und

u³ - v³ - q = 0
u³ - v³ = q

An den Vorzeichen dieser beiden Gleichungen ist nun kein Fehler zu erkennen, was auch hier freilich noch nicht ein Nachweis dafür ist dass die Nullsetzung tatsächlich berechtigt ist.

Man hat nun also die beiden Gleichungen:

u³ - v³ = q
uv = p/3


u³ - v³ = q
u^6 - 2u³v³ + v^6 = q²                Quadrieren


uv = p/3
u³v³ = p³/27                                Kubisch           
4u³v³ = 4p³/27                             mal 4

u^6 - 2u³v³ + v^6 = q²
4u³v³ = 4p³/27                             Addition  

u^6 + 2u³v³ + v^6 = q² + 4p³/27

(u³ + v³)² = q² + 4p³/27
u³ + v³ = ²V(q² + 4p³/27)


u³ + v³ = ²V(q² + 4p³/27)
u³ - v³ = q                                         Addition

2u³ = q + ²V(q² + 4p³/27)

u³ = q/2 + (²V(
q² + 4p³/27))/2  = q/2 + ²V(q²/4 + p³/27)

u = ³V(q/2 + ²V(
q²/4 + p³/27))


u³ + v³ = ²V(q² + 4p³/27)
u³ - v³ = q                                           Subtraktion

2v³ = - q + ²V(
q² + 4p³/27)

v³ = - q/2 + (²V(q² + 4p³/27))/2   = - q/2 + ²V(q²/4 + p³/27)

v =  ³V(-q/2 + ²V(
q²/4 + p³/27))

z = u - v

z = ³V(q/2 + ²V(
q²/4 + p³/27)) - ³V(- q/2 + ²V(q²/4 + p³/27))

z = ³V(q/2 + ²V(q²/4 + p³/27)) + ³V(q/2 - ²V(q²/4 + p³/27))


Das Plus/Minus vor der Wurzel und dessen sinnfreie Interpretation ist auch hier überflüssig.
Auch hier kommt man wieder auf das gleiche Ergebnis wie bei der bestehenden Ableitung, nur das hier eben das Vorzeichen für (q) bereits in der Ableitung berücksichtigt wurde und daher hier der Betrag von q einzusetzen ist.


Hier entspricht die Negative Seite dem Ansatz

z³ + pz + q = 0

was allerdings von vornherein auf dieser Seite keinen Nulldurchgang und daher auch keine Lösung haben kann.




Schlussfolgerung

Nullsetzung
Die Nullsetzung zweier Seiten einer Gleichung

u³ + v³ + q = 0 = - 3uvz - pz

(hier ohne Berücksichtigung der tatsächlichen Vorzeichen) funktioniert offensichtlich nur unter bestimmten Voraussetzungen. Selbst dort wo diese Nullsetzung funktioniert sieht man erst am Ende der Ableitung, beim Einsetzen von Zahlen, ob hier ein sinnvolles Ergebnis heraus kommt oder auch nicht. Ein vorheriger Nachweis dass diese Nullsetzung auch berechtigt ist erfolgt nirgendwo, sondern es ist zunächst reine Spekulation und das ist nicht Mathematik.
Die Erklärung mit einem Koeffizientenvergleich ist ganz offensichtlich unzutreffend.

Nachdem diese Nullsetzung unter bestimmten Bedingungen ganz offensichtlich falsch ist, kann das nur heißen dass man in diesen Fällen nach einem neuen Ansatz suchen muss.

Wenn man das Ergebnis der Cardanischen Formel betrachtet so sieht man dass man mit der Summe aus zwei dritten Wurzeln zu einer Lösung kommt.
Man könnte sich daher fragen ob es nicht möglich ist zu einer Lösung zu kommen wenn man gleich von Anfang an die kubische Gleichung in zwei Gleichungen aufteilt, möglicherweise sogar ohne Substitution des quadratischen Elements.

Wenn man beide Seiten einer kubischen Gleichung (Positive und Negative Seite) getrennt als eine eigene Funktion betrachtet und immer die tatsächlichen Vorzeichen verwendet und darüber hinaus nur jene Regeln für Negative Zahlen anwendet die auch tatsächlich verifizierbar sind, so wäre es schon ein Wunder wenn sich nicht für alle kubischen Gleichungen eine eindeutige Lösung finden ließe, auch ohne diese mystische Vorstellung von sogenannten Komplexen Zahlen.

Das heißt, wie gesagt, nicht dass dieser Ansatz zu einer solchen Lösung einfach sein muss denn sonst stünde dieser Ansatz auch hier.


Plus/Minus Vorzeichen
Das Plus/Minus Zeichen vor der Wurzel in der späteren Ableitung

u³ - v³ = + ²V(
q² - 4p³/27)

ist ebenso unbegründet wie überflüssig.
Die spätere Interpretation dieser Vorzeichen ist völlig willkürlich und ebenfalls unbegründet.
Dort wo die Cardanische Formel zu einer Lösung führt kommt man ohnehin auch ohne dieses unbegründete Plus/Minus Vorzeichen zu einer Lösung. Man muss nur tatsächliche Vorzeichen verwenden.


Quadrieren
Ein weiterer nicht ganz uninteressanter Fall ist wenn das Quadrat der folgenden Gleichung gebildet wird.
Wenn man die Ableitung in der bekannten Form ohne die tatsächlichen Vorzeichen zu verwenden, sieht das folgendermaßen aus:

u³ + v³ =  - q                        
u^6 + 2u³v³ + v^6 = q²        Quadrieren

Das Verschwinden des Minus Zeichens durch das Quadrieren auf der rechten Seite erscheint hier zunächst etwas unmotiviert.
Wenn man in die beiden Gleichungen eine Zahl einsetzt also z.B. (q = 2) so sehen die beiden Zeilen folgendermaßen aus:

- 2 = - 2
4 = 4

Diese einseitige Vorzeichenänderung wirkt sich beim Einsetzen von Zahlen nicht aus da ja in Wirklichkeit auf beiden Seiten einer Gleichung der der gleiche Zahlenwert stehen muss. Wenn rechts ein Negativer Zahlenwert steht so muss schließlich auch links ein Negativer Zahlenwert stehen.

Für q = - 2

2 = 2
4 = 4

Auch hier wirkt sich diese Vorzeichenänderung aus dem gleichen Grund nicht aus. Wenn man Zahlen einsetzt so besteht diese einseitige Vorzeichenänderung überhaupt nicht.
Dass hier kein Fehler entsteht beruht also darauf dass auf beiden Seiten einer Gleichung letztendlich der gleiche Zahlenwert stehen muss. Man sieht auch hier wieder dass sich mit Negativen Zahlen ein weitgehendes System von Methoden ergibt, ob man sich nun dieser Methoden im einzelnen bewusst ist oder eben auch nicht. Die Definition mit Negativen Zahlen führt hier zwar zu keinen Fehler es macht aber auch keinen Sinn.

Es bleibt freilich die Frage ob unter komplizierteren Voraussetzungen, wo es vielleicht mehrere Zwischenschritte gibt, nicht doch ein Unsinn damit passieren kann. Eine Garantie dafür dass es immer, auch unter komplizierteren Voraussetzungen funktionieren muss besteht jedenfalls durchaus nicht.

Das ganze funktioniert übrigens durchaus auch wenn man die Definition umdrehen würde und das Plus Zeichen als Negations-Zeichen verwenden würde. Das ist auch nicht zu überraschend denn sonst müsste mit dem Minus-Zeichen schon irgend ein Zauber verbunden sein.

u³ + v³ =  - q                        
- (u^6 + 2u³v³ + v^6) = - q²        Quadrieren

für q = 2
 2 = 2
- 4 = - 4

für q = - 2
- 2 = - 2
- 4 = - 4

So sieht man gut dass man die Regeln für Negative Zahlen genau so gut für Positive Zahlen anwenden könnte, es würde genau so funktionieren. Wie gesagt es müsste sonst ja auch ein Zauber mit dem Minus Zeichen verbunden sein, wovon eher nicht auszugehen ist.

Man sieht es hier sogar besonders gut.
Man definiert die eine Seite als Ausgangsrichtung (Positiv) und die andere Seite als Gegenrichtung (Negativ) dazu. Das Vorzeichen der Gegenrichtung verwendet man als eine Art generelles Negationszeichen. Damit ergibt sich eine weitgehend funktionierende Methode. Das würde aber umgekehrt genau so funktionieren.
Nur dass es eben reichlich unpraktisch wäre denn in der Ausgangsrichtung rechnet man ja bevorzugt und man müsste dann ständig erklären warum man diese oder jene Regel der Positiven Zahlen da und dort nicht anwenden kann. Aber, wie gesagt, funktionieren würde es damit genau so.

Die Nullsetzung vorher zeigt freilich dass diese Methode nicht immer funktionieren muss!

Es würde übrigens auch dann funktionieren wenn man die Vereinbarung trifft dass das Vorzeichen einer Zahl beim Quadrieren erhalten bleibt, allerdings müsste man die Regeln für das Multiplizieren von Differenzen schon anwenden.

u³ + v³ =  - q                        

u^6 + 2u³v³ + v^6 = - q²        Quadrieren

für q = 2
- 2 = - 2
- 4 = - 4

für q = - 2
 2 = 2
 4 = 4

Mit einem Wort man kann hier so ziemlich definieren was man will, tatsächlich können zwar die Vorzeichen auf beiden Seiten bei allgemeiner Schreibweise unterschiedlich sein, aber niemals wenn man Zahlen einsetzt, sonst wäre die Gleichung ja von vornherein falsch.

Etwas anderes ist wenn man nachher die Wurzel zieht:

a = - b
a² = b²

²V(a²) = ²V(b²)
a = b

Nun, wenn man Zahlen einsetzt so stimmt es auch nach der Wurzel wieder, denn es wird in dem Fall auf beiden Seiten die gleiche Zahl (2) stehen. Nur die Information dass (a) dem Wert von (b) entgegengerichtet ist, diese Information ist jetzt weg.
Sicher, wenn man unmittelbar danach die Wurzel zieht so wird man eben die Erklärung anwenden dass die Wurzel aus (b²) Plus/Minus (b) sei. Unter normalen Umständen wendet man es aber nicht an und insbesondere wenn hier ein paar Zwischenschritte vorhanden sind wird man diese Plus/Minus Regel kaum anwenden und dann ist die Information verloren.
Allenfalls könnte man auch sagen dass (a = + 2) und (b = + 2) ist, was aber erst recht keinen Sinn macht.
Wie diese Plus-Minus Regel exakt anzuwenden ist, ist schließlich nirgendwo definiert, man wendet diese Regel faktisch nach Belieben an bzw. wie man halt gerade glaubt diese Regel gebrauchen zu können.
Viel unexakter kann elementare Mathematik nicht definiert sein, um nicht zu sagen viel saumäßiger geht es nicht.

Genau diese Information über das Vorzeichen bleibt eben, unter anderen Umständen, durch die "Imaginäre Einheit" bzw. die Komplexen Zahlen erhalten. Die "Imaginäre Einheit" ist schließlich nichts anderes als eine Vorzeichen-Merkzahl und die Komplexen Zahlen sind eine dazugehörige Rechenregel.

Im gegenständlichen Fall bei der Ableitung der reduzierten Kubischen Gleichung wird diese Plus/Minus Regel, wie gesagt, ja auch ganz einfach nach Gutdünken angewendet und nicht nach irgend einer tatsächlich nachvollziehbaren Vorgangsweise.


Eindeutige Definition
Man kann diese verschwommene Plus-Minus Regel vor der Wurzel auf zwei Arten umgehen und auf diese Weise zu einer eindeutig definierten Vorgangsweise kommen.

Erstens kann man, wie hier vorher beim Nachvollziehen der Cardanischen Formel angewendet, tatsächliche Vorzeichen verwenden, also ein Minus bereits in der Ableitung verwenden wo eben tatsächlich ein Minus ist. Dann können auf den beiden Seiten einer Gleichung überhaupt nicht zwei unterschiedliche Vorzeichen auftreten, denn sonst wäre die Gleichung falsch.

- a = - b
a² = b²


²V(a²) = ²V(b²)
a = b


Wenn sich beim Quadrieren auf beiden Seiten die Vorzeichen ändern so hat das schließlich keinen Einfluß auf das Ergebnis. Diese undefinierte Plus/Minus Regel beim Wurzel ziehen ist damit überflüssig.

Die zweite Möglichkeit wäre dass man das Vorzeichen beim Quadrieren beibehält:

a = - b
a² = - b²


²V(a²) = ²V(- b²)
a = - b

Auch damit besteht eine eindeutige Definition und man braucht auch hier nicht diese verschwommene Plus/Minus Regel beim Wurzel ziehen.
Das heißt übrigens natürlich nicht dass nachvollziehbare Regeln wie die Multiplikation von Differenzen nicht anzuwenden wären.

Fest steht dass es zwei Möglichkeiten einer exakt definierten Vorgangsweise gibt wo diese ungenaue Definition der Plus/Minus Regel nicht angewendet werden muss.


Subtraktion
Ein weiterer ganz interessanter Fall ist die folgende Subtraktion:

u^6 + 2u³v³ + v^6 = q²
4u³v³ = - 4p³/27                      Subtraktion

u^6 - 2u³v³ + v^6 = q² + 4p³/27

Wenn (u) oder (v) negativ ist so sind auch (2u³v³) in der ersten Zeile negativ und (4u³v³) in der zweiten Zeile muss ebenfalls negativ sein. Nach der Subtraktion dreht sich also nur das Vorzeichen um und es steht dann eben in Zahlenwerten ausgedrückt in der dritten Zeile (+
2u³v³). Es entsteht daher auch bei negativen Zahlenwerten kein Fehler, da sich in beiden Fällen die Vorzeichen des tatsächlichen Zahlenwertes umkehren.

Aber auch hier wird niemand mit Sicherheit sagen können dass unter komplizierteren Voraussetzungen, wenn etwa mehrere Zwischenschritte erfolgen damit nicht doch ein Fehler passieren kann, nämlich dass man in Zahlenwerten eingesetzt, etwa statt (- 2u³v³) bzw. allgemein statt
(- 2ab) oder (+ 2ab) den Ausdruck (- 6ab) oder (+ 6ab) erhält.

Wenn man immer tatsächliche Vorzeichen verwendet dann kann auch hier kein Fehler passieren.


Schlusspunkt
Die Nullsetzung beider Seiten einer Gleichung bei der Ableitung der Kubischen Gleichung ist mit bestimmten Vorzeichen ganz einfach falsch, die Cardanische Formel kann daher unter bestimmten Voraussetzungen überhaupt nicht zu einem richtigen Ergebnis führen.

Unter diesen Voraussetzungen muss man ganz einfach einen neuen Ansatz zur Lösung der Kubischen Gleichung finden.

Dieser Ansatz mag nicht ganz einfach sein, dass man aber unter der Voraussetzung dass man immer nur eine Seite 
(Positive Seite oder Negative Seite) als eine eigene Funktion betrachtet und nur jene Regeln für Negative Werte verwendet die auch tatsächlich verifizierbar sind (Multiplikation von Differenzen, Subtraktionszeichen, etc.) und im Ansatz der Ableitung immer tatsächliche Vorzeichen verwendet (Plus und Minus Zeichen), so wäre es schon ein Wunder wenn kubische Gleichungen damit nicht eindeutig und ohne diese mystische Vorstellung von Komplexen Zahlen zu lösen sein sollten.

Und es wäre wohl auch eine Überraschung wenn auf diese Weise nicht auch Gleichungen höherer Ordnung eindeutig lösbar sein sollten.





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Negative Zahlen und Komplexe Zahlen


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Hier sind noch einmal die beiden Links zur Ableitung der Kubischen Gleichung:

Gleichung 3 Grades

Cardanische Formel



Robert Markweger
 
rmw@markweger.at


26. 8. 2020                l.Ä.      2.9.2020

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